Lebesgue medible es establece no un conjunto de Borel medible

Question

duplicado exacto de Lebesgue medible pero no Borel medibles

PERO! puede usted por favor traducir de Miguel de respuesta y ampliarlo con una prueba formal? Estoy totalmente atascado...

En resumen: hay un Lebesgue medibles conjunto que no es Borel medible?

Ellos son un orden de magnitud de diferencia así que no debe haber un montón de ejemplos, pero todo lo que puedo encontrar es "agregar un Lebesgue cero de la medida a un Borel medible conjunto que se convierte en no-Borel medible". Pero, ¿qué tipo de medida cero conjunto cumple dicha propiedad?

Answer 1

Deje $\phi(x)$ ser el Cantor de la función, que no es la disminución de la función continua en la unidad de intervalo de $\mathcal{U}_{(0,1)}$. Definir $\psi(x) = x + \phi(x)$, que es un aumento continuo de la función $\psi: [0,1] \to [0,2]$ y, por tanto, para cada $y \in [0,2]$, no existe un único $x \in [0,1]$, de tal manera que $y = \psi(x)$, lo $\psi$ $\psi^{-1}$ mapas de conjuntos de Borel en los conjuntos de Borel.

Ahora, no Borel subconjunto $S \subseteq \psi(C)$. Es preimagen $\psi^{-1}(S)$ debe ser Lebesgue medibles, como un subconjunto del conjunto de Cantor, pero no es Borel medible, como un topológica de la asignación de un no-Borel subconjunto.