Una base para $\{(x-y,y-z,z-x) : (x,y,z)\in \mathbb R^3\}$

Question

La pregunta original :

Demostrar que $F: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ tal que $F(x,y,z)=(x-y,y-z,z-x)$ es lineal-mapa y encontrar una base para$imF$$kerF$.

Yo :
He demostrado que los $F$ mantiene las dos condiciones de ser lineal. También, era fácil encontrar una base para $kerF=\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 : x=y=z\}$ ( La base es $(1,1,1)$. )

La parte estoy atascado en :

Sé que $dim(\mathbb R^3)=dim(imF)+dim(kerF)$ . Así, una base para $imF$ han $2$ de los miembros. El problema es que no sé lo que es. Quiero decir, no sé cual los miembros de $\mathbb R^3$ son atravesados por $imF$.

Gracias de antemano.

Answer 1

\begin{align} im(F)&=\{(x-y,y-z,z-x) \mid x,y,z\in\mathbb{R}\}\\ &=\{x(1,0,-1)+y(-1,1,0)+z(0,-1,1) \mid x,y,z\in\mathbb{R}\}\\ &=span\{(1,0,-1),(-1,1,0),(0,-1,1)\}\\ &=span\{(1,0,-1),(-1,1,0)\}\\ \end{align}

Mostrar que $\{(1,0,-1),(-1,1,0)\}$ es linealmente independiente, y usted tiene una base.

No hay manera general para encontrar una base para un sistema generador que implica la construcción de una matriz cuyas filas son los vectores que abarca el conjunto, y, posteriormente, la fila de la reducción de la matriz.