Combinaciones: Manos de póquer, full

Question

Leyendo mi libro de Probabilidad y repasando algunas cosas:

¿Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer sea un full? (Un full se define como una mano con tres cartas de una denominación y dos cartas de otra denominación; por ejemplo, tres reinas y dos 4).

La solución (esto es un ejemplo) se establece como:

El número de manos de póquer diferentes es $52\choose5$ . Para contar el número de plenos, llamemos a una mano del tipo (Q,4) si tiene tres reinas y dos 4, con representaciones similares para otros tipos de plenos. Obsérvese que (Q,4) y (4,Q) son plenos diferentes, y que no existen tipos como (Q,Q) y (K,K). Por lo tanto, existen $13 \times 12$ diferentes tipos de llenos. Puesto que cada tipo particular, digamos (4,Q), hay $4\choose3$ formas de seleccionar tres 4's y $4\choose2$ formas de seleccionar dos Q, la probabilidad deseada es

$$ \frac{13 \cdot 12 \cdot \binom{4}{3} \cdot \binom{4}{2}}{\binom{52}{5}}$$

No entiendo cómo el $13 \times 12$ y ahí es donde necesito una aclaración.

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay 13 formas de elegir la primera denominación y por cada una de ellas hay 12 formas de elegir la segunda (ya que no se puede elegir una denominación dos veces).

Hay una regla que dice que si hay $n_1$ formas de elegir el primer elemento de un par ordenado y $n_2$ formas de elegir la segunda, el número de parejas posibles es $n_1n_2$ .

En términos más generales, cuando $n$ objetos y desea elegir una combinación ordenada de tamaño $k$ , $P_{k,n}=\frac{n!}{(n-k)!}$ . Esto se denomina permutación de tamaño $k$ de los objetos.

En este caso, $n=13$ y $k=2$ Así que $P_{2,13}=\frac{13!}{11!}=\frac{13 \cdot 12 \cdot 11!}{11!}=13 \cdot 12$ .