Generar dos variables con residuos heterocedásticos y una pendiente de regresión lineal de 1

Question

Tengo un vector A, que comprende valores de ingresos predefinidos de 1000 empresas. Ahora quiero generar otro vector B, que comprende los ingresos de las empresas del año anterior. La intención es modelar B tomando A como el valor esperado y una desviación estándar que aumenta con el tamaño de A: Es decir, las empresas más grandes tienen diferencias absolutas más grandes entre A y B que las empresas más pequeñas. El propósito es lograr una relación para que una regresión lineal del predictor B sobre la variable dependiente A produzca una línea con una pendiente cercana a 1. Por lo tanto, la relación debería lucir como sigue:

lm(A~B)$coefficients  # debería producir  
                      #(Intercepto)          B 
                      #     0               1
plot(B,A)
abline(lm(A~B)$coefficients, col = "red")`  

Lo intenté de la siguiente manera:

set.seed(123)
A <- 1:1000
B <- rnorm(n=1000, mean = A, sd=0.4*A)

Sin embargo, para lm(A~B):

Coeficientes:
(Intercepto)          A
197.5979             0.6013

¿Tienes alguna idea de cómo puedo corregir la generación del vector B a partir de A, para que una regresión lineal de B sobre A produzca una pendiente de 1?

Answer 1

Para obtener una estimación de $b$ igual a uno, debes cambiar la desviación estándar. Usé tu código y simplemente lo cambié. Mira esto:

set.seed(123)
A <- 1:1000
B <- rnorm(n=1000, mean = A, sd=1/A)

lm(A~B)

    Call:
lm(formula = A ~ B)

Coefficients:
(Intercept)            B  
 -0.0003096    1.0000004

lm(B~A)

Call:
lm(formula = B ~ A)

Coefficients:
(Intercept)            A  
  0.0003144    0.9999996

Supongo que esto es lo que quieres. Ten en cuenta que obtendrás resultados similares si usas una desviación estándar $sd = A^k$, para cada $k$ diferente de cero, por supuesto.

Answer 2

Ya casi llegas. Lo que necesitas recordar es que la regresión minimiza las distancias verticales de los datos a la línea. Es decir, pensamos en los errores como estando en la respuesta (ver mi respuesta aquí: ¿Cuál es la diferencia entre la regresión lineal en y con x y x con y?). Solo necesitas cambiar qué variable es tu respuesta aquí. Considera:

set.seed(123)
A <- 1:1000
B <- rnorm(n=1000, mean = A, sd=0.4*A)
summary(lm(A~B))$coefficients  # esta es tu regresión
#                Estimate Std. Error  t value      Pr(>|t|)
# (Intercept) 197.5978552 9.62892402 20.52128  2.361529e-78
# B             0.6012796 0.01535132 39.16794 5.465950e-204
summary(lm(B~A))$coefficients
#               Estimate  Std. Error     t value      Pr(>|t|)
# (Intercept) -0.5542773 14.86392934 -0.03729009  9.702612e-01
# A            1.0076260  0.02572579 39.16793538 5.465950e-204

windows()
  # plot(B,A)  #this is your plot
  plot(A,B)    # aquí cambié X e Y
  abline(0,1, col="red")
  abline(coef(lm(B~A)), col="blue")