Calcular
\begin{equation*} \int_0^\infty \frac{\sin^4(x)}{x^2}~dx\text{ and }\int_0^\infty \frac{\sin (ax) \cos (bx)}{x}~dx. \end{ecuación*}
Para la primera integral traté de dejar a $u = \sin ^4 x$$dv= \frac{1}{x^2}~dx$, que se simplifica a $\int_0 ^\infty \frac{4 \sin^3(x) \cos(x)}{x}~dx$ y aplicar la integración por partes de nuevo con $u = \sin^3(x) \cos (x)$$dv = \frac{1}{x}$, tengo
$$\left.\vphantom{\frac11}[\sin ^3 (x) \cos (x) \ln (x)] \right|_0^\infty - \int_0^\infty \ln (x) [3 \sin ^2 (2x) - \sin^4 (x)]~dx$$
El único problema es que parece que el término $[\sin ^3 (x) \cos (x) \ln (x)] \big\vert_0^\infty$ evalúa al infinito y ni el $3\int_0^\infty \ln (x) \sin ^2 (2x)~dx$ plazo, ni el $3\int_0^\infty \ln (x) \sin^4 (x)~dx$ converge.Esto se parece a un callejón sin salida, pero la otra opción de $u$ $dv$ parece incluso peor, así que no estoy seguro de cómo proceder.
Para la segunda integral traté de $u = \sin (ax) \cos (bx)$$dv = \frac{1}{x}$, lo que me da $[\sin (ax) \cos (bx) \ln (x)] \big\vert_0^\infty + \int_0^\infty \frac{b-a}{2} \ln (x) \cos ((a-b)x)~dx - \int_0 ^ \infty \frac{b+a}{2} \ln (x) \cos ((a+b)x)~dx$, lo que también se parece a un callejón sin salida debido a que todos los tres de los términos ir hasta el infinito.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
