Soluciones de pde $u_t+tu_x=0$?

Question

Considere la posibilidad de la PDE $$u_t+tu_x=0 \\ u(0,t)=f(t)$$ We have that general solution is $u(x,t)=\phi(\frac{t^2}{2}-x)$. Observe que la solución no es única, ya que hay una familia de curvas características que pasan por el origen.

Si $t>0, $, entonces no hay solución, a menos que $\frac{t^2}{2}-x=c>0$

No entiendo por qué no habrá soluciones a menos $\frac{t^2}{2}-x=c>0$.

Por qué $\frac{t^2}{2}-x=c<0$ no funciona?

Podría alguien explicar esto por favor?

Answer 1

Usted escribió : $u(0,t)=f(x)$ que es no-sens desde $u(0,t)$ es la función de $t$, no de $x$. Así que, supongo que la ecuación correcta es : $$u_t+tu_x=0 \\ u(0,t)=f(t)$$ $u(x,t)=\phi(\frac{t^2}{2}-x)$ es correcta.

Condición : $u(0,t)=\phi(\frac{t^2}{2})=f(t)$

Deje $X=\frac{t^2}{2}\geq 0\quad$ $\quad t=\sqrt{2X}\quad$ $\quad \phi(X)=f(\sqrt{2X})$

Ahora, la función de $\phi(X)$ es determinado. Ponerlo en la anterior solución general donde $X=\frac{t^2}{2}-x$ conduce a :

$$u(x,t)=f\left(\sqrt{2\left(\frac{t^2}{2}-x\right)}\right)$$ $$u(x,t)=f\left(\sqrt{t^2-2x}\right)\quad \text{in case of}\quad t^2-2x\geq 0$$