La segunda ley de Newton para las fuerzas individuales

Question

Todos sabemos que "la segunda ley de Newton afirma que cualquier partícula o de un sistema de partículas con una constante de la masa total $m$ bajo la influencia de $n$ fuerzas externas se mueve con una aceleración constante $\vec{a}$ proporcional a la suma de todas las fuerzas que podemos escribir: $$\sum_{i=1}^{n} \vec{F_i}=m\vec{a}$$ Ahora mi pregunta es si el individuo fuerzas externas $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$, ..., $\vec{F_n}$ generar las correspondientes aceleraciones $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$, ..., $\vec{a_n}$ de forma independiente, podemos escribir la ecuación de una "fuerza externa" de la siguiente manera? $$\vec{F_i}=m\vec{a_i}$$ Me refiero a que podemos deducir la ecuación para cada individuo una fuerza externa a partir de 2º de la ley?

(Observe que el total de la aceleración debe ser: $\vec{a}=\sum \vec{a_i}$)

Answer 1

Bueno, sí, por supuesto. Pero ten en cuenta que la sola $a_i$ no son observables, por lo que es más de una matemática/lógica de la herramienta.

Entonces la ecuación se convierte, en una dimensión (lo mismo se aplica para el cálculo vectorial):

$$\sum_i F_i = ma = m\sum_i a_i = m\sum_i {F_i\over m} = \sum_i F_i $$

es una identidad, puede utilizar cualquiera de las formas arriba!

Esa es la fuerza de fórmulas lineales: usted puede resolver todo por separado y, a continuación, agrega todo (principio de superposición lineal)

EDITAR: Vamos a ponerlo de otra manera. Si cada fuerza actúa sin que los demás se habrían $F_i=ma_i$${F_i\over m}=a_i$.

A continuación, tomar ahora: $$\sum_i F_i=ma$$ y dividir evrything por $m$. Usted obtener:

$$\sum_i {F_i\over m} = a$$

A continuación, utilizando la fórmula anterior: $$\sum_i a_i = a$$

Esto demuestra que la descomposición en una sola de las fuerzas que conducen a una sola de las aceleraciones sentido. Usted podría haber hecho otra descomposición, tales como, suponiendo que sólo ha $F_1$$F_2$, $$F_1=m {a\over 3}$$ y $$F_2=m{2a\over 3}$$. A continuación, usted todavía tiene

$${F_1\over m}+{F_2\over m}={a\over 3}+{2a\over 3}=a$$

y como las dos fuerzas están actuando en conjunto es una buena descomposición. Sin embargo, no tiene sentido físico, como si las fuerzas que actúan singularmente las ecuaciones anteriores sería un error.

Por así decirlo, ya que se puede descomponer en una suma de fuerza de todos modos usted quiere que acaba de elegir el único de descomposición, lo que tendría sentido si las fuerzas que actúan solas.

Este tipo de superposición, que tiene sentido físico solo si la fuerzas son reales (por ejemplo, uno está tirando y uno está empujando). Esto también le puede ayudar a resolver problemas en los que varias fuerzas están actuando: puede resolver cada uno por separado, y luego suma los resultados (asegúrese de que la suma de los vectores en el camino correcto..!)

Answer 2

Dadas las definiciones $\vec a_i = \vec F_i/m$$\vec F = \sum_i \vec F_i$, y la 2ª ley de Newton formuló como $\sum_i \vec F_i = m \vec a$, se puede demostrar que todas de las siguientes expresiones son equivalentes:

$$\vec F = \sum_i F_i = \sum_i m \vec a_i = m \sum_i \vec a_i = m \vec a.$$

Estas definiciones implican también la aditividad de la aceleración: $$ \vec a = \sum_i \vec a_i.$$

Lo que no podemos hacer es excepcionalmente se derivan de la definición de $\vec a_i$ (o, para el caso, $\vec F$) de la declaración de la 2ª ley por sí sola — sin saber a qué nos referimos por"$\vec a_i$, no hay manera de averiguarlo sólo de $\sum_i \vec F_i = m \vec a$, ya que el no $\vec a_i$ aparece en ella.

Sin embargo, si damos por sentado que las aceleraciones son aditivos y proporcional a las fuerzas, es decir, que $\vec a = \sum_i \vec a_i$$\vec a_i \propto \vec F_i$, entonces podemos derivar de $\sum_i \vec F_i = m \vec a$ que la constante de proporcionalidad entre el $\vec a_i$ $\vec F_i$ debe, naturalmente, ser $1/m$.

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De hecho, perfectamente razonable derivar de Newton la primera y la segunda leyes serían a partir de las siguientes definiciones / postulados:

1. La aceleración es el cambio de velocidad a lo largo del tiempo: $\displaystyle \vec a = \frac{{\rm d} \vec v}{{\rm d}t}$.
2. Cuando más de un efecto acelera un cuerpo, que se combinan de forma aditiva: $\displaystyle \vec a = \sum_i \vec a_i$.
3. Una fuerza que actúa sobre un cuerpo se acelera en proporción a su magnitud y dirección: $\displaystyle \vec a_i \propto \vec F_i$.
4. La relación de la fuerza y la aceleración resultante es igual a la masa del cuerpo: $\displaystyle \frac{\vec F_i}{\vec a_i} = m$.

Estos postulados son casi suficientes para derivar $\sum_i \vec F_i = m \vec a$, y de hecho todas las otras formas equivalentes anterior, excepto por el hecho de que el postulado 3 implícitamente deja abierta la posibilidad de que podría ser aceleraciones que hacer no el resultado de fuerzas.

Si insistimos en asignar a cada componente de la aceleración de $\vec a_i$ en nuestro sistema una fuerza correspondiente a $\vec F_i = m \vec a_i$ (que siempre podemos matemáticamente hacer, siempre y cuando $m > 0$), luego le hecho recuperar la 2ª ley de Newton como convencionalmente establecidos. Sin embargo, yo diría que hay, de hecho, el sonido conceptual y pedagógico razones de no hacer esto, pero a la vez se deja abierta la posibilidad de que haya fuentes de aceleración sin una fuerza correspondiente.

En particular, "anómala aceleraciones" surgen de manera natural en la no-inercial sistemas de coordenadas, donde se representan los cambios en el movimiento aparente de un objeto que en realidad resultado del movimiento del sistema de coordenadas en la que estamos trabajando. La forma estándar de control de pseudo-aceleraciones implica artificialmente multiplicándola por la masa del objeto, y llamando el resultado de una fuerza ficticia, pero que no son realmente adecuados fuerzas en todo — por una cosa, que generalmente no obedecen la tercera ley de Newton.

Yo diría que, conceptualmente, tiene mucho más sentido para el tratamiento de estos efectos (aparente) de las aceleraciones resultantes de cualquier fuerza, que artificialmente inventar imaginario pseudo-fuerzas que se les atribuye. No sólo es este enfoque simple (en términos de no postular innecesaria de entidades), pero que funciona mejor para los cálculos numéricos (donde evitando la innecesaria multiplicación y división subsecuente por $m$ simplifica la aritmética y reduce los errores de redondeo) y permite que las ecuaciones de movimiento natural aplicada incluso a inertially objetos en movimiento de desconocidos o de masa cero ("las partículas trazadoras"), sin tener que tomar torpe límites de $m \to 0$.

Un notable caso especial es la gravedad, que es una fuerza real en la física de Newton, sino un pseudo-fuerza en la relatividad general. Incluso cuando se trabaja en la física Newtoniana, puede ser numéricamente conveniente para el tratamiento de la gravedad como una pura forceless aceleración, más que como una fuerza proporcional a la masa del objeto que actúa sobre. De hecho, creo que hay bastante ingenuamente escrito física código por ahí cuya velocidad y la precisión numérica, puede ser mejorado (marginalmente, al menos) si los programadores se les enseñó a tratar a la gravedad como una aceleración y no como una fuerza, y así evitar la innecesaria multiplicación y la división.

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Ps. Para una perspectiva histórica, puede ser interesante echar un vistazo más de cerca a la de Newton de la formulación original de su segunda ley (vía Wikipedia):

"Lex II: Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur."

"La ley II: La alteración del movimiento es siempre proporcional a la fuerza motriz de impresionar a d; y se realiza en la dirección de la línea de la derecha en la que la fuerza es impresionar." (Motte 1729)

Tomado literalmente, esta forma de la segunda ley puede ser escrito matemáticamente como $\frac{{\rm d}\vec v}{{\rm d}t} \propto \vec F$ o, para utilizar una de Newton propia notación para el tiempo de derivados, $\dot{\vec v} \propto \vec F$. (Una aún más literal de la lectura podría saltarse los derivados del todo, y de interpretar Newton dice aquí simplemente como $\Delta \vec v \propto \vec F$.)

Vale la pena señalar que Newton aquí simplemente habla de una sola "fuerza motriz"; mientras que el siguiente comentario señala que los cambios posteriores a la velocidad del aditivo, este enunciado de la segunda ley no hace ninguna mención explícita de cómo múltiples no-fuerzas paralelas que actúan simultáneamente debe combinar.

Sin embargo, es notable cómo de cerca esta original forma de la segunda ley de Newton se asemeja a lo que he dicho como mi postulado 3 (dado que yo no había en realidad parecía que hasta antes de la redacción de este anexo). De hecho, por darle un nombre — "aceleración" a la "alteración del movimiento" a lo largo del tiempo, y tomando nota de que varias de las aceleraciones se combinan de la misma manera si son aplicados de forma consecutiva o simultáneamente se obtienen, principalmente, a los postulados anteriores del 1 al 3; todo lo que queda es la explícita constante de proporcionalidad dado como postulado 4 anterior.

Answer 3

Mi respuesta a esta pregunta es no.

Tal vez este no es el problema matemáticamente, como otra respuesta señala, pero el splitted porciones de "aceleración" no tienen ningún significado físico. Me duele la vista para ver que nos aleja de la simple e intuitivo de la física y la ley de Newton a algo totalmente ficticio. Y yo no veo ninguna ventaja en cuanto a facilidad de trabajo. Esto tan a menudo causa tanta confusión, por lo que no vamos a ir de esta manera.

No hay una "pequeña parte" de la aceleración de contribuyentes de cada uno. Hay una fuerza de cada uno, y la única cosa de la 2ª ley de Newton que dice es que ellos juntos resultado de una aceleración:

$$\sum \vec F=m\vec a$$

Que la suma símbolo $\sum$ es sólo en el vector de fuerza y no del vector de aceleración es casualidad o escritura diferida. Es a propósito, porque esta fórmula de mostrar cómo funciona el mundo.

Un objeto puede tener muchos fuerzas simultáneamente. Pero sólo tiene una aceleración en un momento.

Answer 4

Bueno, sí pero no. ¿Qué significa eso para escribir $\vec{F_i}=m\vec{a_i}$ si todas las fuerzas que están actuando simultáneamente?

Si tú quieres decir que lo que quiere decir que la ecuación es de la relación entre fuerza y aceleración si sólo $\vec{F_i}$ estaban actuando y todo el resto estaban ausentes, entonces sí, son perfectamente correctas y tienen, probablemente, fue la esencia de la definición de fuerza, masa y las leyes del movimiento en la Mecánica Newtoniana.

Pero si usted desea interpretar como la relación entre la parte de aceleración producida por $\vec{F_i}$, incluso cuando el resto de las fuerzas que están actuando entonces yo tendría que estar en desacuerdo con usted. No hay ningún significado a la parte de aceleración que se produce cuando todas las fuerzas que están actuando simultáneamente - al menos en la forma habitual de pensar acerca de la mecánica clásica, que yo sepa. Y en el ámbito de la mecánica clásica, la propuesta parece metafísico. Si, imaginariamente, hubo algún mecanismo que en definitiva pueda decirnos qué parte de la aceleración es producida por qué componentes de la fuerza, a continuación, sólo tal interpretación puede tener cualquier significado físico.

Answer 5

Sus instalaciones son un poco ambiguas. El resultado y su interpretación dependen de lo que el sistema actual es:

• si usted está tratando con un punto de partículas , a continuación, el mensaje es claro: la ley de Newton es lo que es.

• si se trata de un sistema de partículas puntuales , a continuación, empezar a escribir la ley de Newton para cada partícula; sumando por encima de ellos y teniendo en cuenta el hecho de que las fuerzas internas se cancelan mutuamente, usted termina con una expresión de la forma: $$ \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{\textrm{(externo)}} = M {(\mathbf{a}_{cm})} $$

En particular, se tiene, para cada partícula $j$ $$ \mathbf{F}_j = m_j\mathbf{a}_j,\qquad j=1,\ldots, N $$ cuando la fuerza que actúa sobre cada partícula (lado izquierdo de la anterior) puede ser separado en las contribuciones de las interacciones y de las contribuciones procedentes de los externos; así tenemos $$ \mathbf{F}_j = \mathbf{F}_j^{\textrm{(externo)}} + \sum_{k<j}^N\mathbf{F}_{jk} = m_j\mathbf{a}_j,\qquad j=1,\ldots, N $$ con $\mathbf{F}_{jk} = - \mathbf{F}_{kj}$ debido a la tercera ley de Newton, para cada par $(j,k)$. Sumando todas las ecuaciones de la forma como en el anterior se obtiene: $$ \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_j^{\textrm{(externo)}} + \sum_{j=1}^N \sum_{k<j}^N\mathbf{F}_{jk} = \sum_{j=1}^N m_j \mathbf{a}_j $$ que puede ser re-organizadas como $$ \sum_{j=1}^N \mathbf{F}_j^{\textrm{(externo)}} + \sum_{k\neq j}^N(\mathbf{F}_{jk} + \mathbf{F}_{kj}) = \sum_{i=1}^N m_i\,\frac{\sum_{j=1}^N m_j \mathbf{a}_j}{\sum_{i=1}^N m_i} $$ donde el segundo aporte en el lado izquierdo se desvanece. Por lo tanto tenemos: $$ \sum_{i=1}^N \mathbf{F}_i^{\textrm{(externo)}} = M {(\mathbf{a}_{cm})}. $$ No hay una "aceleración": no hay lugar a la aceleración del centro de masa del sistema (que cumple con la ley de Newton con la misa de la masa total, sujeto a fuerzas externas) y la única de las aceleraciones de cada punto de la partícula (que son lo que son). El mismo resultado, sin embargo, no se ofrecen para otras cantidades como la energía, por ejemplo: la energía cinética total de un sistema de partículas puede ser dirigida al centro de la masa sólo (König del teorema).

• si usted está tratando con una continua cuerpo en el razonamiento que va a lo largo de las mismas líneas arriba: prestar atención a integrar sobre el correspondiente de la superficie y la masa de los elementos, uno termina con un resultado similar, mutatis mutandis, con la resultante de las fuerzas externas que se piense como se aplica para el centro de masa del sistema, de modo que todas las otras piezas en las integraciones de cancelar el uno con el otro. La correspondiente del teorema de König agarra de nuevo.

El punto es que una de las construcciones de las leyes de la dinámica en el caso general, sumando todas las contribuciones individuales para punto de partículas: por lo tanto el punto de partida es la ley de Newton fiel de las partículas individuales y por lo tanto la ley de Newton fiel (en el centro de masa del sistema) para el general discretos o continuos cuerpo.

¿Cuál es el lugar que es equivalente a la de arriba y la tercera ley de Newton para partículas puntuales, a saber: el de arriba es verdadera si y sólo si el punto dos partículas que interactúan entre sí el ejercicio de la misma y de las fuerzas opuestas, en forma de vectores.