Ley de la controversia del medio excluido

Question

Estaba leyendo un libro de introducción a la lógica y mencionaba de paso que la Ley de la Media Excluida es algo controvertida. Lo investigué y lo que obtuve fue que los intuicionistas no lo aceptaron en contraste con los formalistas. Tengo curiosidad, pero sólo estoy tomando un curso introductorio de lógica, aunque de manera muy informal y vaga, conozco la historia de las matemáticas hasta la incompletitud de Godel y el programa de Hilbert.

¿Puede alguien decirme cuál es la naturaleza de la controversia de manera que se ajuste a mi nivel de comprensión de las matemáticas? Además, ¿cuál es un ejemplo de matemáticas constructivas o una prueba matemática constructiva y por qué los intuicionistas dicen que el LEM no es bueno para ello (si eso es correcto)? ¡Gracias!

Answer 1

Básicamente, la "cuestión" es que con el LEM puedes "decidir" cosas que una máquina o (una persona) nunca podría decidir por sí misma.

Escoge dos reales al azar $a,b$ . Entonces, obviamente $a<b, a>b$ o $a=b$ ¿verdad? Pero si $a=b$ ¿Cómo lo sabrías? Empiezas a comparar los dígitos de $a$ y $b$ y descubrir que todos son iguales, pero nunca se puede saber con seguridad, porque las secuencias de dígitos son infinitas. Por lo tanto, el programa que compara dos números nunca se detendrá, si son iguales.

Esa es la idea básica de las matemáticas constructivas: Si un programa no puede decidir, entonces es simplemente indecidible . Y así, constructivamente no es un teorema, que para todos los reales $a,b$ tenemos $a<b, a>b$ o $a=b$ .

Otra cuestión es, que de la misma manera para cualquier propiedad $ \phi $ hay un $x$ con $ \phi (x)$ o no hay $x$ con $ \phi (x)$ según el LEM. Pero esto no tiene sentido constructivamente: "existe" significa "puedo encontrar uno", pero por ejemplo: Dada una función continua $f : [a,b] \to \mathbb {R}$ con $f(a) < 0$ y $f(b)>0$ sabes que, clásicamente, hay un $ \xi $ con $f( \xi ) = 0$ pero no necesariamente puedes encontrar esa exacta $ \xi $ sólo se puede aproximar. Por eso este teorema falla constructivamente (pero funciona si sólo afirmas que se puede aproximar un cero)

Debo mencionar: el axioma de la elección implica la existencia no constructiva de varios objetos, por lo que no es de extrañar que implique LEM en las matemáticas constructivas (teorema de Diaconescu).

Answer 2

La ley del medio excluido (LEM) es el ingrediente crucial en cualquier prueba por contradicción (a diferencia de prueba de contraposicion ). La objeción al LEM se entiende más fácilmente en este contexto.

Algunas pruebas por contradicción establecen la existencia de tal o cual objeto matemático. Constructivamente hablando, el problema de una prueba por contradicción es que no proporciona ninguna indicación de cómo se encuentra o se describe específicamente tal objeto matemático.

En pocas palabras, la afirmación constructivista es que la existencia es una construcción, y no una prueba de la imposibilidad de la no existencia.

La mentalidad constructiva nos lleva bastante lejos y nos lleva a conclusiones sorprendentes, como la idea de que el teorema tradicional del valor extremo podría ser constructivamente falso.

Para entender este concepto intuitivamente, noten que no hay forma de encontrar una aproximación a tal extremo reclamado. Esto se debe a que el extremo no es una función continua de la función de entrada, ya que uno se convence fácilmente mirando ejemplos simples de una función con dos "jorobas" de aproximadamente la misma altura.