Teorema de Cayley-Hamilton para calcularlo.

Question

$ A = \pmatrix{0&-3&0\\3&0&0\\0&0&-1}$

Calcule el $e^{At}$ . Bien, el primer problema de esto es calcular la inversa de $A$ utilizando el teorema de Cayley-Hamilton. Pero para este segundo problema, no sé cómo resolverlo, ¿debo utilizar el teorema de Cayley-Hamilton?

Answer 1

Tenga en cuenta que las potencias de $A$ son muy regulares, por lo que calcular la exponencial explícitamente no es difícil.

Answer 2

Se puede utilizar Cayley-Hamilton para calcular este exponencial observando que el polinomio característico de $A$ es una cúbica, por lo que cualquier polinomio en $A$ puede reducirse al resto cuadrático después de dividir por $A$ del polinomio característico. Esto también se extiende a $f(A)$ , donde $f$ es una función analítica. No es demasiado difícil demostrar que si $R$ es este polinomio resto, entonces para cualquier valor propio $\lambda_i$ de $A$ , $f(\lambda_i)=R(\lambda_i)$ . Por lo tanto, $$e^{At}=\alpha_0 I+\alpha_1 A+\alpha_2 A^2$$ para unos coeficientes desconocidos $\alpha_i$ que se puede determinar a partir de las ecuaciones $$e^{\lambda_i t}=\alpha_0+\alpha_1 \lambda_i+\alpha_2 \lambda_i^2,$$ que es un sistema de ecuaciones lineales en los coeficientes desconocidos $\alpha_i$ . (Si hay un valor propio repetido, estas ecuaciones necesitan un pequeño ajuste, pero no es el caso de esta matriz).

Answer 3

Calculando explícitamente el polinomio característico se obtiene $$p_A(x) = -(x^2+9)(x+1) = -(x-3i)(x+3i)(x+1)$$ así que $\sigma(A) = \{3i, -3i, -1\}$ .

Por lo tanto, $A$ es diagonalizable y tras un poco de cálculo encontramos:

$$A = PDP^{-1} = \frac12\pmatrix{i & -i & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\pmatrix{3i & 0 & 0 \\ 0 & -3i & 0 \\ 0 & 0 & -1}\pmatrix{-i & 1 & 0 \\ i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2}$$

Por lo tanto, suponiendo que $t \in \mathbb{C}$ es un escalar, obtenemos

\begin {align} e^{At} = \frac12\pmatrix {i & -i & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} \pmatrix {e^{3it} & 0 & 0 \\ 0 & e^{-3it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-t}} \pmatrix {-i & 1 & 0 \\ i & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2} = \pmatrix { \frac {e^{3it}+e^{-3it}}{2} & - \frac {e^{3it}-e^{-3it}}{2i} & 0 \\ \frac {e^{3it}-e^{-3it}}{2i} & \frac {e^{3it}+e^{-3it}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-t}} \\ \end {align}

Esto se puede escribir como

$$e^{At} = \pmatrix{\cos 3t & -\sin 3t & 0 \\ \sin 3t & \cos 3t & 0 \\ 0 & 0 & e^{-t}}$$

que es una matriz real si $t \in \mathbb{R}$ .