La siguiente pregunta está relacionada con este post ¿Qué elementos de un álgebra tensorial son invertibles? y principalmente estoy confundido si la respuesta en el post anterior se aplica a mostrar que el álgebra tensorial de un espacio vectorial (de dimensión finita) no contiene ningún divisor cero.
Dejemos que $T(V) = \oplus_{k=0}^{\infty} T^k(V)$ sea el álgebra tensorial de un espacio vectorial finito $V$ .
¿Cómo se $T(V)$ no contiene ningún divisor cero?
He aquí una razón filosófica: el álgebra tensorial es el álgebra libre sobre algún espacio vectorial. Es decir, sólo satisface las relaciones que tiene que satisfacer para ser un álgebra asociativa, y nada más. Si tuviera divisores de cero, eso sería una relación más que satisface y que no tiene que satisfacer. Además, dejaría de satisfacer la propiedad universal, aquellos elementos que fueran divisores de cero no pueden ser mapeados a elementos que no sean divisores de cero. Pero cualquier mapa fuera del álgebra tensorial está determinado por un mapa fuera del espacio vectorial dado, y el espacio vectorial no tiene forma de saber que esos elementos tendrían que ir a divisores cero.
(por favor, disculpen la personificación)
No he estudiado realmente la métrica de Godel, así que sólo abordaré las preguntas 2 y 3 en una métrica general (sin referirme específicamente a la métrica de Godel).
Sí, la luz (en el vacío) siempre viajará en una geodésica nula. Sí, las partículas permanecen en la geodésica en ausencia de una fuerza externa neta. El momento significa cosas diferentes en el caso masivo y en el caso sin masa, ya que las partículas masivas se mueven en geodésicas con vectores tangentes semejantes al tiempo y las sin masa se mueven en vectores tangentes nulos. La 4-fuerza es igual a la derivada covariante del 4-momento a lo largo del vector tangente a su línea del mundo. Me explayaré:
Supongamos un mundo en el que la mecánica cuántica es falsa y todas las partículas tienen una "patada" (momento) asociada. Una partícula de luz tiene un momento definido asociado a ella. Por lo tanto, su "patada" puede ser redirigida y/o disminuida. Las partículas con masa también tienen esta "patada" y también pueden redirigirla y/o disminuirla. La "patada" se redirige cuando la "patada" entra en contacto con el aplicador de la fuerza, es decir, se desvía de su movimiento geodésico.
Ahora, en partículas con masa no nula esta patada es directamente proporcional a la velocidad 4 . Por lo tanto, la aplicación de una fuerza sobre las partículas cambia su velocidad 4 y la desvía del movimiento geodésico en el tiempo.
Sin embargo, para las partículas sin masa la velocidad 4 no existe (ya que el tiempo propio en su marco es 0). La aplicación de la fuerza sobre la partícula también la desviaría del movimiento geodésico nulo, pero el vector tangente de su movimiento seguiría siendo un vector nulo, por lo que su velocidad neta seguiría siendo c en su marco local durante la aplicación de la fuerza.
De vuelta a la realidad. En la RG clásica, no tenemos fuerzas para estas partículas sin masa, pero tenemos fuerzas (fuerzas electromagnéticas) para las partículas masivas. Así que tratamos las partículas sin masa puramente como ondas con energía y momento (que no pueden ser cambiadas aplicando la fuerza clásica). Nótese que en la RG clásica, en el vacío la velocidad de la onda EM puede reducirse en medios dieléctricos, pero la velocidad más rápida posible en el marco dieléctrico seguirá siendo un vector nulo (velocidad de la luz).
En la discusión anterior, trato la gravitación como la estructura del espacio-tiempo y no como una fuerza.
En la Teoría Cuántica de Campos, la observación es discontinua y las partículas cambian en número y tipo entre 2 mediciones sucesivas. Hay una simetría en estos cambios que dejan invariantes la energía y el momento netos. Por tanto, aquí la fuerza es irrelevante y volvemos a tratar a los fotones como partículas.
Preguntas 1 y 4:
En primer lugar, no hay conservación global de la energía en la relatividad general. Sólo hay conservación local de la energía. Hay otros métodos utilizados para obtener cantidades globalmente conservadas (como los campos de vectores de Killing).
Los CTC se consideran entidades patológicas. Hay que revisar muchos conceptos de la RG clásica si aceptamos los CTC en la estructura causal aceptable de los espaciotiempos realistas.
Muchas de las ideas que damos por sentadas son lanzadas a los vientos en un espacio-tiempo tan extremo. Permítanme darles una analogía muy cruda y aproximada:
-Hay una gallina astral que pone un huevo y muere, el huevo eclosiona y el pollito se come el huevo y a su padre, pone un huevo, muere y así sucesivamente..... Por lo tanto, la línea de palabras de la gallina astral es un CTC.
-Digamos que tú (moviéndote a lo largo de una geodésica normal) estás en el evento P (eclosión del huevo) y te quedas con la gallina hasta el evento Q (muerte de la gallina), la gallina desaparecerá repentinamente después de Q. ¿Te imaginas que la gallina se desvanece?
-El huevo también apareció de repente en tu pasado en P. Algo así como Marty en Regreso al Futuro que aparece y desaparece de repente. El huevo-masa aparece, se convierte en pollito y desaparece, obviamente desde tu punto de vista, la energía no se conserva en absoluto ni siquiera localmente.
Esto es lo mejor que puedo hacer sin referirme usando las matemáticas. La estructura causal es una teoría muy elemental, podrás entenderla. Esto te ayudaría a entender mejor las CTC, que no son para nada elementales. Te recomiendo el libro de Wald sobre la RG. Además, aquí hay un pdf de Thorne sobre algunas implicaciones de las CTC. Es un artículo moderadamente avanzado, pero muy interesante. http://www.its.caltech.edu/~kip/scripts/ClosedTimelikeCurves-II121.pdf
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