Ampliación de la serie Maclaurin para $e^{-1/x^2}$

Question

Actualmente estoy muy confundido sobre cómo proceder con la expansión de la serie Maclaurin para mi función actual.

Obtuve mis derivadas y obtuve mi fórmula, sin embargo, al enchufarlas me da una respuesta no posible ya que la división por $0$ no es posible.

Answer 1

$e^{-1/x^2}$ no se define en $x=0$ . Pero puedes tomar $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&x\neq0\\0&x=0\end{cases}$$ y como $\lim_{x\to0}e^{-1/x^2}=0$ , $f$ es continua.

Ahora puede tomar $f$ de la derivada en $0$ pero no tanto utilizando la regla de la cadena, la regla exponencial y la regla de la potencia, sino utilizando la definición de la derivada. Esa definición basada en el límite da $f'(0)=0$ : $$\begin{align}f'(0)&=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\&= \lim_{h\to0}\frac{e^{-1/h^2}-0}{h}\\&= \lim_{h\to0}\frac{e^{-1/h^2}}{h}\\&= \lim_{h\to0}\frac{h^{-1}}{e^{1/h^2}}\\&= \lim_{h\to0}\frac{-h^{-2}}{-2h^{-3}e^{1/h^2}}\\&= \lim_{h\to0}\frac{h}{2e^{1/h^2}}=0\end{align}$$

Para $f''(0)$ Es necesario que comprenda plenamente $f'$ . El resultado es $$f'(x)=\begin{cases}\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}&x\neq0\\0&x=0\end{cases}$$ y tiene un problema similar al de antes. Encuentre $f''(0)$ utilizando la definición de la derivada aplicada a $f'$ .

Y así sucesivamente, hasta que veas un patrón, y pruebes que ese patrón continúa para todos $n$ ón de los derivados en $x=0$ .

Answer 2

Puede depender de la forma común de $e^x$ y poner $x=-1/x^2$ como sigue $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$$ $$e^{-1/x^2}=1-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2!x^4}-\frac{1}{3!x^6}+\frac{1}{4!x^8}+...$$