Resolución de ecuaciones del tipo $a\cos x+b\cos y-c=0$ y $a\sin x+b\sin y-d=0$

Question

He aquí las preguntas Hay dos ecuaciones: $a\cos x+b\cos y-c=0 $ y $ a\sin x+b\sin y-d=0$ . Por ejemplo ¿Cuál es el valor de $x$ y $y$ en la siguiente pregunta? $$2\cos x+3\cos y-2=0$$ $$2\sin x+3\sin y-8=0$$

Answer 1

sólo una pista

A partir de la primera ecuación $$2\cos (x)=2-3\cos (y) $$ y del segundo $$2\sin (x)=2-3\sin (y) $$

así $$(2\sin (x))^2+(2\cos (x))^2=$$

$$4=8-12\cos(y )-12\sin(y)+9$$ $$\cos(y)+\sin (y)=\frac {13}{12}$$

$$\sqrt {2}\cos (y-\frac {\pi}{4})=\frac {13}{12}$$

Puedes terminar.

Answer 2

Asumiré $a > 0$ y $b > 0$ . Sea $R = \sqrt{c^2 + d^2}$ de modo que $c = R \cos(\theta)$ y $d = R \sin(\theta)$ para algunos $\theta \in [0,2\pi)$ . Los puntos $[0,0]$ , $[a \cos(x), a \sin(x)]$ y $[c, d]$ forman un triángulo con lados de longitud $a$ , $b$ y $R$ . Necesitamos $R \le a + b$ , $a \le R + b$ y $b \le R + a$ para que esto sea posible. Por la ley de los cosenos obtenemos $$\cos(x - \theta) = \frac{a^2 + R^2 - b^2}{2 a R} $$ Del mismo modo, $$\cos(y - \theta) = \frac{b^2 + R^2 - a^2}{2 b R} $$

Answer 3

Las ecuaciones pueden reescribirse como $$a\cos x+b\cos y=c$$ $$a\sin x+b\sin y = d$$ Si elevamos ambos al cuadrado obtenemos $$a^2\cos^2x+b^2\cos^2 y+2ab\cos x\cos y=c^2$$ $$a^2\sin^2 x+b^2\sin^2 y+2ab\sin x\sin y=d^2$$ Sumando estos resultados se obtiene $$a^2+b^2+2ab\cos(x-y)=c^2+d^2$$ Lo que nos permite resolver para $\cos(x-y)$ en términos de constantes dadas. Multiplicando las dos primeras ecuaciones por $\cos y$ y $\sin y$ respectivamente y sumándolas obtenemos $$a\cos(x-y)+b=c\cos y+d\sin y$$ que permite resolver $y$ .