Evaluar el límite de la función $\lim_{x\to\infty}\frac{(9x^2+1)^{1/2}}{x+2}.$

Question

Encontrar el límite de: $$\lim_{x\to\infty}\frac{(9x^2+1)^{1/2}}{x+2}.$$ Quiero dividir cada uno de los términos por el mayor poder de $x$, pero no elimite la raíz cuadrada.

Answer 1

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{(9x^2+1)^{1/2}}{x+2}\cdot\frac{1/x}{1/x} = \lim_{x\to\infty} \frac{(9+1/x^2)^{1/2}}{1+2/x}=3$$

Answer 2

Sugerencia:

\begin{align} \lim_{x\to\infty}\frac{(9x^2+1)^{1/2}}{x+2}&=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{9x^2+1}}{x}}{\frac{x+2}{x}}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{9x^2+1}{x^2}}}{1+\frac{2}{x}}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{2}{x}}\\ \end{align}

Answer 3

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \frac{\sqrt{9x^2+1}}{x+2}&=\frac{3x}{x+2}\sqrt{1+\frac1{9x^2}}\\\\ &=3\left(1-\frac{2}{x+2}\right)\sqrt{1+\frac1{9x^2}} \end{align}$$

Ya tenemos los límites

$$\lim_{x\to \infty}\left(1-\frac{2}{x+2}\right)=1$$

y

$$\lim_{x\to \infty}\sqrt{1+\frac1{9x^2}}=1$$

a continuación, el límite es de interés

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{9x^2+1}}{x+2}=3$$

Answer 4

SUGERENCIA:

Set $\dfrac1x=h\implies h\to0^+, h>0$

$\sqrt{9x^2+1}=\sqrt{\dfrac{9+h^2}{h^2}}=\dfrac{\sqrt{9+h^2}}{|h|}=\dfrac{\sqrt{9+h^2}}h$ $h>0$