¿cómo generar celdas de teselación utilizando el modelo de disco de Poincare?

Question

Soy programador informático y, aunque me gustan las matemáticas, ésta es un área en la que mi comprensión de las mismas se queda corta para poder aplicarlas con éxito.

He estado mirando a M.C. Los dibujos de Escher "Límite del círculo" que utilizan un modelo de disco de Poincare para ilustrar las inclinaciones del plano hiperbólico. Lo que quiero hacer es generar las coordenadas (en el plano cartesiano, para una visualización gráfica) de los vértices de dicho mosaico. Pero no estoy seguro de por dónde empezar. Parece que necesito dos cosas:

1. una forma de generar las coordenadas en el plano hiperbólico, para cada vértice de varias celdas (polígonos) en dicho mosaico; y
2. la fórmula para convertir esas coordenadas al plano cartesiano, utilizando el modelo del disco de Poincare.

Por ejemplo, en Circle Limit I, cada pez parece equivalente a un cuadrilátero (otros cuatro peces tocan sus bordes), y cada vértice está rodeado por 4 o 6 peces. No necesito generar peces, sólo cuadriláteros. Pero no sé cómo hacerlo.

¿Conoce algún programa informático para hacerlo? ¿O puede alguien ayudarme con un algoritmo?

Quiero generar un área finita del plano (por supuesto ). Si un algoritmo podría ayudarme a generar $k$ anillos de células alrededor del origen, eso sería lo más conveniente.

Gracias por cualquier sugerencia.

P.D. También me interesaría conocer otros tilings hiperbólicos además del de Escher, por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Heptagonal_tiling

P.P.D. Acabo de encontrar algunos código fuente para dibujar tilings hiperbólicos (véase la parte inferior de la página), que incluye la generación de ubicaciones de vértices. Puedo extraer estas coordenadas de los vértices poniendo sentencias print. Pero están agrupadas por segmento de línea en lugar de por celda, y la conversión de la primera a la segunda no parece fácil.

Answer 1

La solución más útil que he encontrado para mi necesidad -- sacar las ubicaciones de los vértices de cada polígono -- es la de David Joyce Applet de teselaciones hiperbólicas y su código fuente . Este applet dibuja teselaciones regulares y cuasiregulares organizadas por polígonos, por lo que es fácil poner declaraciones de impresión en el update() y la salida de las ubicaciones de los vértices de cada polígono como el polígono se dibuja. Es mucho menos eficiente que el código de Hatch, pero la eficiencia no es uno de mis requisitos en este momento. La claridad es mucho más importante.

Encontré las explicaciones en Tesis de máster de Ajit Datar el más útil para aprender cómo funciona el proceso de generación de las teselaciones. También hay código que lo acompaña, que aún no he mirado. El programa de Datar ofrece más flexibilidad que el applet de Joyce: por ejemplo, el de Datar puede construir teselaciones con un polígono centrado en el origen, o con un vértice en el origen; y también puede teselar "motivos" (polígonos o polilíneas como el pez de Escher).

Answer 2

No estoy seguro de que esto sea de ayuda, pero debes tener en cuenta que las líneas de estas imágenes que delimitan los cuadriláteros a los que te refieres son simplemente geodésicas (hiperbólicas). En el modelo de disco del biespacio hiperbólico son precisamente círculos (euclidianos ordinarios) que se encuentran con el límite del disco unitario ortogonalmente (en el sentido euclidiano), por lo que desde el punto de vista euclidiano es una tarea geométrica bastante sencilla dibujar esas líneas y calcular sus puntos de intersección.

(Por supuesto, las geodésicas son entonces sólo las partes de los círculos que se encuentran en el interior del disco unitario).

Buscando en Google encontré este enlace que he elegido al azar de la lista de resultados, que explica este y otros hechos sobre la geometría hiperbólica. También explica la equivalencia entre el modelo de la mitad superior del espacio y el modelo del disco, lo que puede ser útil para ti porque yo esperaría que los cálculos en el modelo de la mitad superior del espacio fueran un poco más fáciles (esto es sólo una suposición, no tengo experiencia con este tipo de cálculos en el ordenador).

Hth, Thomas

Answer 3

Entra en Wikipedia y busca "Transformaciones de Möbius".

Si se embaldosa un plano con cuadrados, un determinado grupo de traslaciones y rotaciones deja el patrón inalterado, ¿no? Ese grupo es el grupo de simetría. Si embaldosas el círculo de Poincaré con lo que sea, el grupo de simetría está formado por las transformaciones de Möbius.

O:

En el disco de Poincaré, una línea recta es un círculo que corta el borde del disco en ángulo recto. Además, los ángulos se conservan: si dos "líneas" están a 60 grados, siguen estando a 60 grados aunque se mueva el foco. Así que dada una línea, un punto en la línea y un ángulo, sólo hay un arco circular que es una "línea".

O:

Engaña primero con el modelo de medio plano.