Polinomios que satisfacen $(x-1)(p(x+1))=(x+2)(p(x))$ donde $p(2)=12$?

Question

Estoy tomando un curso graduado en la Teoría de la Ecuación y una de mis preguntas sobre los deberes me pide "Determinar todos los polinomios $p(x)$ tal que $(x-1)(p(x+1))=(x+2)(p(x))$$p(2)=12$. Una sugerencia es tratar cuidadosamente seleccionados, los valores de $x$.

He sido capaz de que el uso de Excel para "plug and chug" para encontrar los valores de $x\in\mathbb{Z}\geq1$. ($p(x)=0$ para $x\in\mathbb{Z}<1$.) He utilizado Excel para graficar los valores que he encontrado y me fue dada una línea de tendencia que se aproxima $p(x)=2x^3-2x$.

¿Cuáles son los enfoques de ser capaces de encontrar todos los polinomios? Gracias!

Answer 1

Encontró una solución $p(x) = 2x^3 - 2x$.

Para todos los $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$ tiene

$p(n+1) = \frac{n+2}{n-1}p(n)$ $p(2) = 12$

por lo tanto, por inducción $p$ es determinado para todos los $n\geq 2$. Esto significa que la solución es única, y es $2x^3 - 2x$.

Answer 2

Nos da que

$$ \frac{ p(x+1) } { p(x) } = \frac{ x+2}{x-1}$$

Deje $ p(x) = A \prod ( x - \alpha_i)$.

Sugerencia: Si $ \alpha_i \neq 1$, muestran que para algunos $j$, $\alpha_j = \alpha_i - 1$.

Sugerencia: Si $ \alpha_i \neq -1$, muestran que para algunos $k$, $ \alpha_k = \alpha_i + 1$.

Sugerencia: Utilice el hecho de que cualquier polinomio tiene grado finito.

A la conclusión de que $ p(x) = A [(x-1) x (x+1)] q(x)$ donde $ \frac{q(x+1)}{q(x)} = 1 $ para algunos polinomio $q(x)$.

Mostrar que $q(x)$ es una constante.

Por lo tanto, $p(x) = A(x-1)x(x+1)$, y desde $p(2) = 12$, podemos encontrar $A=2$.

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En particular, esto ayuda a caracterizar todas las posibles ecuaciones de la forma

$$ f(x) p(x) = g(x) p(x+1)$$

que no tiene una solución trivial.

Answer 3

Pensar acerca de las raíces de este polinomio. Observe que, $x=-1,0$ son las raíces de este polinomio. ¿Qué nos puede decir acerca de la polinomio, si usted sabe que uno de sus raíces? Que debe ser divisible por $(x-a)$ donde $a$ es la raíz de este polinomio. Trate de usar este en este problema, estoy seguro de que usted será capaz de completarlo. :)

Answer 4

Dada la condición de

$$ (x-1) p(x+1) = (x+2) p(x) \wedge p(2) = 12. $$

Nos encontramos

$$ p(x-1) = \frac{x 2}{x+1} p(x) \wedge p(2) = 12 \Rightarrow p(1)=0, p(0)=0, p(-1)=0, $$

es decir, tenemos los ceros $-1, 0, +1$. Así que podemos escribir

$$ p(x) = (x-1)x(x+1) f(x), $$

donde

$$ f(2) = 2. $$

De dónde

$$ (x-1)x(x+1)(x+2) f(x+1) = (x-1)x(x+1)(x+2) f(x), $$

así

$$ f(x) = f(x+1). $$

Así que la función $f(x)$ es periódica.

Cuando consideramos "infinito" polinomios, podemos pensar de $f(x) = 2\cos(2 k \pi x)$. Así obtenemos por ejemplo

$$ p(x) = 2(x-1)x(x+1) \cos(2 k \pi x), $$

como una solución.

El caso de $k=0$ rendimientos

$$ p(x) = 2(x-1)x(x+1) = 2x^3-2x, $$

pero esta no es la única solución!