$A^2=AB+BA$. Demostrar que $\det(AB-BA)=0$

Question

Deje $A,B$ dos $3\times 3$ matrices con entradas complejas, de tal manera que $A^2=AB+BA$. Demostrar que $\det(AB-BA)=0$

Bonito problema, y quiero encontrar una solución.

$AB-BA=A^2-2BA=(A-2B)A$ así que si $|A|=0$ hemos hecho, si $|A| \not=0$ I no se puede demostrar.

Answer 1

$$\begin{align} \det(AB-BA)&= \det(A^2-2BA)\\ &= \det(A-2B)\det(A) \\ &= \det(A)\det(A-2B) \\ &= \det(A^2-2AB) \\ &= \det(BA-AB) \\ &= (-1)^3 \det(AB-BA) \\ &= -\det(AB-BA) \end{align}$$ Por lo $$\det(AB-BA)=0$$