Deje $B(t)$ ser un Puente Browniano y $U$ es distribuido uniformemente en $(0,1)$. Me gustaría saber la función de distribución de $B(U)$. Es posible? Como sabemos, $B(t)\sim N(0,t(1-t))$. Pero, no tengo idea al $t$ es reemplazada por la variable aleatoria $U$. Podría alguien ayudarme?
Respuestas
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Deje $p_t$ denotar el PDF de $B(t)$ y asumir que $U$ es independiente de $B$ con PDF $f_U$, entonces la distribución de $B(U)$ ha PDF $$ p(\ )=\int p_t(\ )f_U(t)\mathrm dt. $$ En el presente caso, $U$ es uniforme en $(0,1)$ y, para cada $t$$(0,1)$, $$ p_t(x)=\frac1{\sqrt{2\pi t(1-t)}}\mathrm e^{-x^2/(2t(1-t))}, $$ por lo tanto $$ q(x)=\int_0^1\frac1{\sqrt{2\pi t(1-t)}}\mathrm e^{-x^2/(2t(1-t))}\mathrm dt. $$ El cambio de variable $4t(1-t)=1/u^2$ rendimientos $$ q(x)=\frac2{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\mathrm e^{-2x^2(1+u^2)}\frac{\mathrm du}{1+u^2}. $$ La diferenciación de este y la identificación de $q'(x)$ rendimientos finalmente
$$ q(x)=2\int_{|x|}^\infty\mathrm e^{-2u^2}\mathrm du. $$
Tenga en cuenta que, para calcular algunas de las características de la distribución de $B(U)$, uno puede encontrar más conveniente para eludir el PDF $q$ y para volver a la definición de $B(U)$, por ejemplo, $$ E(B(U))=\int_0^1E(B(t))\mathrm dt=0, $$ y $$ E(B(U)^2)=\int_0^1E(B(t)^2)\mathrm dt=\int_0^1 t(1-t)\mathrm dt=\frac16. $$ Asimismo, para cada adecuados medibles función de $A$, $$ E(a(B(U)))=\int_0^1E(a(B(t)))\mathrm dt=\int_0^1\int_\mathbb RA(x)p_t(x)\mathrm dx\mathrm dt. $$
Denzil
Puntos
38
Esto puede estar completamente equivocado, pero es sólo una idea
Por lo que cualquier distribución se caracteriza por su CDF $F(x)=P(X\leq x)$ bien para determinar esto, para una distribución $X\sim B(U)$, lo $P(X\leq x)$ si $U$ era un uniforme discreta $S=\{\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4}\}$ dejando $\Phi_{t}(x)$ representan CDF para $N\left((0,t(1-t)\right)$ sería $$F(x)=P(X\leq x)=\sum_{t\in S}P(X\leq x |U=t)P(U=t)=\frac{1}{3}\left(\Phi_{\frac{1}{4}}(x)+\Phi_{\frac{2}{4}}(x)+\Phi_{\frac{3}{4}}(x) \right)$$
Así que supongo que para el si $U\sim Uni(0,1)$ entonces el CDF para $B(U)$ sería $$F(x)=\int_{0}^{1}\Phi_{t}(x)dt$$
nuevamente, esta es una ingenuo adivinar
incluso si este no tiene el aspecto que se refiere a una determinada distribución conocida creo que todavía se puede simular de esta distribución usando el siguiente código en R
rB=function(tamaño,más bajo.obligado,superior.obligado)
{
la muestra=NULL
for(i in 1:size)
{
U=runif(1,menor.obligado,superior.obligado)
BU=rnorm(1,mean=0,sd=sqrt(U*(1-U)))
la muestra[i]=BU
}
el retorno(de la muestra)
}
También asumí que cuando escribes $N(0,t(t-1))$ que $\sigma^{2}=t(t-1)$
