¿Posible error en el análisis real de Folland?

Question

Estoy trabajando en algunos ejercicios de análisis real de Folland. En el número 2.48, te piden que demuestres la siguiente cuestión:

Dejemos que $X = Y = \mathbb N$ , $M = N = P(\mathbb N)$ y $\mu = \nu$ sea la medida de conteo en $\mathbb N$ . Definir $f(m,n) = 1$ si $m=n$ , $f(m,n) = -1$ si $m = n+1$ y $f(m,n) = 0$ de lo contrario. Entonces, $\iint f\ \mathsf d\mu \mathsf d\nu$ y $\iint f\ \mathsf d\nu\mathsf d\mu$ existen y son desiguales.

Me parece que \begin{align}\iint f\ \mathsf d\mu\mathsf d\nu &= \sum_n\sum_m f(m,n)\\ &= \sum_n f(n,n) + f(n+1,n)\\ &= \sum_n 1-1\\ &= \sum_n 0 = 0\end{align} y \begin{align}\iint f\ \mathsf d\nu\mathsf d\mu &= \sum_m\sum_n f(m,n)\\ &= \sum_m f(m,m) + f(m,m-1)\\ &= \sum_m 1-1\\ &= \sum_m 0 =0.\end{align} Así que las dos integrales son iguales.

¿Qué estoy haciendo mal? Gracias.

Answer 1

Representar la matriz como $$\begin{array}{r|rrrr} m\backslash n &1&2&3&\cdots\\\hline 1&1&0&0&\dots\\ 2&-1&1&0&\dots\\ 3&0&-1&1&\ddots\\ 4&0&0&-1&\ddots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots \end{array}$$ Cuando sumas por primera vez con respecto a $m$ obtenemos $0$ pero cuando empezamos por $n$ la suma de la primera fila es $1$ y $0$ para el otro.

Por tanto, cuidado con el orden de integración cuando la función no es no negativa y no es integrable.