La probabilidad de ganar un juego arbitrario

Question

Me gustaría saber cómo encontrar la respuesta a esta de problemas de probabilidad.

Dos jugadores, $A$$B$, están jugando un arbitrario juego (sin empate es posible). El ganador es el jugador que gana dos partidos consecutivos. Reproductor $A$ $2/3$ de posibilidades de ganar un solo juego y el jugador $B$ $1/3$.

Ejemplo: el Jugador $A$ pierde el primer juego, pero gana los dos próximos juegos, por lo que gana el juego en general.

¿Cuál es la probabilidad de que el Jugador $A$ gana el juego en general?

Answer 1

Deje $E$ la probabilidad de que $A$ gana el juego termina en un número par de juegos, y $O$ la probabilidad de que $A$ gana el juego en un número impar de juegos. Tenemos $\mathbb{P}(A \text{ wins})=E+O.$

Vamos a echar un vistazo a $E$. Denots $a$ una victoria para $A$ $b$ una victoria para $B$ en cada ronda.

Si el juego termina en $2$ juegos de, entonces es $aa$.

Si el juego termina en $4$ juegos de, entonces es $abaa$.

Si el juego termina en $6$ juegos de, entonces es $ababaa$.

Ahora empezamos a ver un patrón. La probabilidad de ganar en $2k$ partidos, es $(2/3)^{k+1}(1/3)^{k-1}$ Esto le da $$ E=\sum_{k=1}^{\infty} (2/3)^{k+1}(1/3)^{k-1}=\frac{4}{7} $$ Os dejo el curioso para usted, pero usted debe encontrar a $O=\frac{4}{21}$, para un total de $\frac{16}{21}$

Answer 2

Deje $S_A$ denotar la probabilidad de $A$ de ganancia, dado que él ha ganado la partida anterior (pero no el juego antes de que, no ha ganado todavía). Deje $S_B$ la probabilidad de $A$ de ganancia, dado $B$ ganó el juego anterior (pero también de la $B$ aún no ha sido declarado ganador). A continuación, obtenemos un conjunto de relaciones de recurrencia como

$$S_A = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot S_B,$$

y

$$S_B = \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot S_A.$$

(Puede usted explicar las relaciones anteriores?)

Estos son dos ecuaciones lineales en dos incógnitas, por lo que podemos resolver $S_A$$S_B$. Finalmente, la respuesta a la pregunta está dada por considerar los posibles resultados de la primera solo juego, y la suma de las probabilidades:

$$S = \frac{2}{3} \cdot S_A + \frac{1}{3} \cdot S_B.$$

Problemas el primer conjunto de ecuaciones en $S_A$ $S_B$ resultados en $S_A = \frac{18}{21}$$S_B = \frac{12}{21}$. La última ecuación por lo tanto nos da la solución de $\boxed{S = \frac{16}{21}}$.

Answer 3

Deje $N$ denotar el número de partidas necesarias para encontrar un ganador. Ahora la probabilidad de $A$ de ganancia puede ser escrita como una suma infinita, como

$$P(A \text{ wins}) = \sum_{N = 2}^{\infty} P(A \text{ wins after exactly } N \text{ games}).$$

Se puede calcular estas probabilidades, y calcular la suma?

(Sugerencia: ¿Cuál es la secuencia de los resultados de los juegos solo si el jugador $A$ gana después de exactamente $3$ juegos? O $4$ juegos? O $N$ juegos?)