Evaluación por métodos reales $\int_0^{\pi/2} \frac{x^5}{2-\cos^2(x)}\ dx$

Question

$\def\Li{{\rm{Li}}}$ Estoy seguro de que ustedes pueden obtener brevemente el resultado por algunos métodos de análisis complejo, pero ahora
Sólo me interesa métodos de análisis real de demostrar el resultado. ¿Qué propondría
¿Por eso? \begin{align*} \int_0^{\pi/2} \frac{x^5}{2-\cos^2(x)}\ dx=&\,\frac{\pi^6 \sqrt{2}}{768}+\frac{5 \sqrt{2}\pi^4}{64}\Li_2\left(2\sqrt2-3\right)-\frac{15\sqrt{2}\pi^2}{16}\Li_4\left(2\sqrt2-3\right)\\ &+\,\frac{15\sqrt{2}}{8}\bigg[\Li_6\left(2\sqrt2-3\right)-\Li_6\left(3-2\sqrt2\right)\bigg] \end{align*}

Y un pregunta complementaria para otra versión, es decir

$$\int_0^{\pi/2} \frac{x^5}{1+\cos^2(x)}\ dx$$
de nuevo, por métodos de análisis real sólo.

Answer 1

Utilizando la fórmula del doble ángulo, el integrando puede reescribirse como \begin{equation} I=\int_0^{\pi/2} \frac{x^5}{2-\cos^2(x)}\ dx=\int_0^{\pi/2} \frac{2x^5}{3-\cos(2x)}\ dx \end{equation} Asignación de la variable $2x\mapsto x$ tenemos \begin{equation} I=\frac{1}{32}\int_0^{\pi} \frac{x^5}{3-\cos x}\ dx \end{equation} Utilizando la identidad (la prueba puede verse aquí ) \begin{equation} 1+2\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{b}{a}\right)^n\cos(n x)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2-2ab\cos x}\qquad,\qquad\mbox{for}\, |b|<a \end{equation} y los valores de correspondencia $a=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$ y $b=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}$ se puede encontrar \begin{equation} 1+2\sum_{n=1}^\infty \left(3-2\sqrt{2}\right)^n\cos(n x)=\frac{2\sqrt{2}}{3-\cos x} \end{equation} Por lo tanto \begin{align} I&=\frac{1}{64\sqrt{2}}\int_0^{\pi} \left[x^5+2\sum_{n=1}^\infty \left(3-2\sqrt{2}\right)^n x^5\cos(n x)\right]\ dx\\ &=\frac{1}{64\sqrt{2}} \left[\frac{\pi^6}{6}+2\sum_{n=1}^\infty \left(3-2\sqrt{2}\right)^n \int_0^{\pi} x^5 \cos(n x)\ dx\right]\\ \end{align} La parte restante puede hacerse mediante integración múltiple por partes y utilizando $\sin(n\pi)=0$ para $n\in\mathbb{Z}$ . Obtendremos \begin{equation} I=\frac{\pi^6 \sqrt{2}}{768}+\frac{\sqrt{2}}{64}\sum_{n=1}^\infty \left(3-2\sqrt{2}\right)^n \left[\frac{5\pi^4\cos(\pi n)}{n^2}-\frac{60\pi^2\cos(\pi n)}{n^4}+\frac{120\cos(\pi n)}{n^6}-\frac{120}{n^6}\right]\ \end{equation} Utilizando \begin{equation} \cos(n\pi)=\begin{cases}\,\,+1&,\,\,\mbox{if}\,\, n\,\,\mbox{is even}\\[12pt] \,\,-1&,\,\,\mbox{if}\,\, n\,\,\mbox{is odd}\\ \end{cases} \end{equation} y la representación de la función polilogaritmo en términos de su serie infinita, obtenemos finalmente \begin{align*} \int_0^{\pi/2} \frac{x^5}{2-\cos^2(x)}\ dx=&\,\frac{\pi^6 \sqrt{2}}{768}+\frac{5 \sqrt{2}\pi^4}{64}\text{Li}_2\left(2\sqrt2-3\right)-\frac{15\sqrt{2}\pi^2}{16}\text{Li}_4\left(2\sqrt2-3\right)\\ &+\,\frac{15\sqrt{2}}{8}\bigg[\text{Li}_6\left(2\sqrt2-3\right)-\text{Li}_6\left(3-2\sqrt2\right)\bigg] \end{align*} El mismo enfoque puede aplicarse para evaluar la segunda integral.