¿La gente de estudio $\mathbb{R}^{3}$ con copias de los complejos de los aviones?

Question

Esto es sólo por curiosidad, pero como veo que muchos buenos resultados en introductorio de análisis complejo de curso, que en su mayoría son de la visualización de $\mathbb{C}$ como un campo de la estructura y $\mathbb{R}^{2}$ y el uso de la topología de la misma, me empecé a preguntar si la gente del estudio de la geometría en $\mathbb{R}^{3}$ con muchas copias de los complejos planos (3 banales se $xy, yz, xz$-aviones). Agradezco agradable de referencia.

Answer 1

Creo que una de las razones de análisis complejo tiene esas maravillosas resultados es debido a la hermosa interacción entre la estructura algebraica de $\mathbb{C}$ un completo algebraicamente cerrado de campo, y la topología que se tiene cuando se ve como dos dimensiones de espacio euclidiano. Por desgracia, las cosas comienzan a romper cuando se intenta extender cosas a $\mathbb{R}^3$ o el uso de cuaterniones en $\mathbb{R}^4$.

Es posible obtener una multiplicación en $\mathbb{R}^3$ utilizando el vector producto, pero no llega a ser asociativas, así que usted no consigue nada tan agradable como un campo, y con los cuaterniones en $\mathbb{R}^4$ pierde conmutatividad, así que, de nuevo, usted no consigue un campo.

En total, parece que todo funciona de manera muy cuidadosamente en $\mathbb{C}$, que cualquier intento de ampliar el número de dimensiones, tiene que romper algo, a menos que quiera ir por la ruta de varias variables complejas, y hacer la función de la teoría de la $\mathbb{C}^n$, pero que es toda la nueva historia ...

Answer 2

Una forma de hacerlo es mirar lo que se llama el mini-twistor espacio de $\mathbb{R}^3$. Este es el conjunto de todas orientadas a líneas rectas en $\mathbb{R}^3$ y tiene un complejo natural de la estructura. Es naturalmente isomorfo a la tangente del paquete de las dos esferas $TS^2$. No es difícil ver que debido a que cada orientadas a la línea recta en $\mathbb{R}^3$ está determinado de manera única por un vector unitario $u$, en la dirección de la orientación, y un menor de vectores $v$ desde el origen de la línea. Estos deben cero producto interior debido a $v$ es el más corto del vector de la línea. Esta construcción permite relacionar ciertos lineales y no lineales de ecuaciones diferenciales en $\mathbb{R}^3$ a un complejo de objetos de análisis en el mini-twistor espacio como gavilla cohomology de los grupos y de las curvas algebraicas.

Usted puede encontrar más en el twistor teoría de la literatura, o en Nigel Hitchin del papel

N. J. Hitchin. Los monopolos y geodesics. Comm. De matemáticas. Phys., 83(4):579--602, 1982.

Answer 3

En el electromagnetismo, la ley de Gauss dice

$$\frac{q}{\varepsilon_0} = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}$$

esto es similar a la de Cauchy teorema de los residuos en 3D. Tal vez usted podría decir:

$$\int_{\mathbb{R}^2} \frac{dx\, dy}{(1 + x^2 + y^2)^{3/2}} = 2\pi$$

mediante la colocación de una sola carga en $(0,0,1)$ por encima del plano complejo y la integración de más de un hemisferio de radio $R \to \infty$ basado en el plano xy.