Esto es sólo por curiosidad, pero como veo que muchos buenos resultados en introductorio de análisis complejo de curso, que en su mayoría son de la visualización de $\mathbb{C}$ como un campo de la estructura y $\mathbb{R}^{2}$ y el uso de la topología de la misma, me empecé a preguntar si la gente del estudio de la geometría en $\mathbb{R}^{3}$ con muchas copias de los complejos planos (3 banales se $xy, yz, xz$-aviones). Agradezco agradable de referencia.
Respuestas
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Creo que una de las razones de análisis complejo tiene esas maravillosas resultados es debido a la hermosa interacción entre la estructura algebraica de $\mathbb{C}$ un completo algebraicamente cerrado de campo, y la topología que se tiene cuando se ve como dos dimensiones de espacio euclidiano. Por desgracia, las cosas comienzan a romper cuando se intenta extender cosas a $\mathbb{R}^3$ o el uso de cuaterniones en $\mathbb{R}^4$.
Es posible obtener una multiplicación en $\mathbb{R}^3$ utilizando el vector producto, pero no llega a ser asociativas, así que usted no consigue nada tan agradable como un campo, y con los cuaterniones en $\mathbb{R}^4$ pierde conmutatividad, así que, de nuevo, usted no consigue un campo.
En total, parece que todo funciona de manera muy cuidadosamente en $\mathbb{C}$, que cualquier intento de ampliar el número de dimensiones, tiene que romper algo, a menos que quiera ir por la ruta de varias variables complejas, y hacer la función de la teoría de la $\mathbb{C}^n$, pero que es toda la nueva historia ...
Dan
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156
Una forma de hacerlo es mirar lo que se llama el mini-twistor espacio de $\mathbb{R}^3$. Este es el conjunto de todas orientadas a líneas rectas en $\mathbb{R}^3$ y tiene un complejo natural de la estructura. Es naturalmente isomorfo a la tangente del paquete de las dos esferas $TS^2$. No es difícil ver que debido a que cada orientadas a la línea recta en $\mathbb{R}^3$ está determinado de manera única por un vector unitario $u$, en la dirección de la orientación, y un menor de vectores $v$ desde el origen de la línea. Estos deben cero producto interior debido a $v$ es el más corto del vector de la línea. Esta construcción permite relacionar ciertos lineales y no lineales de ecuaciones diferenciales en $\mathbb{R}^3$ a un complejo de objetos de análisis en el mini-twistor espacio como gavilla cohomology de los grupos y de las curvas algebraicas.
Usted puede encontrar más en el twistor teoría de la literatura, o en Nigel Hitchin del papel
N. J. Hitchin. Los monopolos y geodesics. Comm. De matemáticas. Phys., 83(4):579--602, 1982.
gabr
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20458
En el electromagnetismo, la ley de Gauss dice
$$ \frac{q}{\varepsilon_0} = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}$$
esto es similar a la de Cauchy teorema de los residuos en 3D. Tal vez usted podría decir:
$$ \int_{\mathbb{R}^2} \frac{dx\, dy}{(1 + x^2 + y^2)^{3/2}} = 2\pi$$
mediante la colocación de una sola carga en $(0,0,1)$ por encima del plano complejo y la integración de más de un hemisferio de radio $R \to \infty$ basado en el plano xy.
