¿Qué es una "conexión" en términos algebraicos?

Question

Parece que tengo que leer esto en otro lugar, pero no he podido encontrar la referencia correcta ahora.

Sabemos que un vector paquete de $E\to M$ es un (proyectiva o localmente libre) módulo de $C^\infty(M)$. Entonces, ¿cómo expresar la relación en $E$ puro algebraicaly?

En otras palabras, la formulación debe conducir a una noción de conexión de los módulos a través de una (diferencial?) el álgebra.

Answer 1

Si $X \to S$ es de morfismos de localmente anillado espacios y $M$ algunos $\mathcal{O}_X$-módulo, una conexión de $M$ $S$ $\mathcal{O}_S$- homomorphism $\nabla: M \to M \otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega^1_{X/S}$ tal que $\nabla(am)=a \nabla(m) + m \otimes d(a)$ para las secciones locales $a$$\mathcal{O}_X$$m$$M$. Esto funciona para los esquemas, pero también para los colectores (ambos son localmente anillado espacios). En el caso de los colectores, se pueden usar las particiones de la unidad, etc. y deducir que $\nabla$ está totalmente determinado por su mapa mundial de las secciones (esta es la conexión a Vladimir de la respuesta).

Answer 2

En primer lugar, técnicamente, $E$ no es un $C^\infty(M)$-módulo, sino $\Gamma(E)$, el espacio de secciones de $E$, es.

Se puede definir una conexión como un $\mathbb{C}$-lineal mapa de $\nabla\colon \Gamma(E)\to\Gamma(E)\otimes_{C^\infty(M)}\Lambda^1(M)$ tal que, para cualquier $f\in C^\infty(M)$$\gamma\in\Gamma(E)$, uno tiene $$ \nabla f\gamma)=f\nabla(\gamma)+\gamma\otimes df. $$ Aquí $\Lambda^1(M)$ $C^\infty(M)$- módulo de la diferencia de $1$formularios en $M$.

(Ver, por ejemplo, R. Wells "Análisis Diferencial en los Complejos Colectores de" Cap. III 1 Seg.)