Cómo comprobar si la dependencia es convexa, cóncava o ninguno?

Question

Vamos a asumir que tenemos un conjunto de tuplas de números reales. O, en otras palabras, tenemos un conjunto de (x,y) pares. La hipótesis más simple (o hipótesis) acerca de la relación entre x y y es que existe una relación lineal entre ellos. Se puede incluso utilizar una regresión lineal para determinar los valores de los coeficientes de la regresión lineal tener.

Pero hay una manera para determinar si existe una diferencia estadísticamente significativa desviación de esta dependencia lineal? Por supuesto, estoy hablando de los casos cuando la desviación de una línea no es obvia.

Supongo que la pregunta puede ser contestada de la siguiente manera. Si tenemos una función convexa, (como el cuadrado de la raíz) de un ajuste lineal dará una subestimación en el medio y a la sobreestimación en el lado de el rango de x. Del mismo modo, si tenemos una función cóncava (como exponente), vamos a tener una sobreestimación en el medio y una subestimación en los lados.

Hay un método estándar para contar (o de alguna manera estimar) estas bajo - y sobre-estimaciones y determinar de esta manera si el observado medida es estadísticamente significativa?

Answer 1

Un enfoque estructurado para este problema se ofrece en [1] Más precisamente, la siguiente prueba de hipótesis de linealidad se realiza: $$\text{H0: The data comes from a model with: $\text{med}(y|x) = \beta x + \alpha$ }$$

Usted podrá encontrar más información de estos documentos, más particularmente en la sección 4.3 de la 1 , donde los autores proponen una prueba de linealidad (la alternativa es la convexidad/concavidad).

Si usted tiene un vector de valores de$y$, y un vector de valores de $x$, este enfoque es bastante fácil de implementar. Revise la descripción de la catline en 3

1. La Más Profunda Método De Regresión (1997). S. Van Aelst, P. J. Rousseeuw, M. Hubert, Un Struyf.
2. Rousseeuw P., Struyf A., (2002). Una Profundidad de Prueba para la Simetría, en: Bondad de Ajuste de las Pruebas y el Modelo de Validez, Birkhauser Boston, pp 401-412.

Answer 2

Stephen Wright tiene una buena discusión de un acercamiento a la comprensión de la convexidad en este NIPS tutorial de 2010. Es en el contexto de la máquina de aprendizaje de los algoritmos de optimización donde se da una buena definición de la convexidad alrededor de las 3:57 minutos en la presentación con el tema "de Primer Orden de los Métodos."

http://videolectures.net/nips2010_wright_oaml/

(Disculpas por la ausencia de fórmulas en esta respuesta, que sería ayudar a aclarar las cosas, pero no sé cómo integrar símbolos matemáticos en mi respuesta).