Considere la posibilidad de una $n$-simplex. Para cada arista $(i,j)$, considere la posibilidad de una $n$-ball, de tal manera que los vértices $i$ $j$ son antipodal en esta pelota. Es el simplex cubierto por la unión de estas bolas? Gracias.
Respuesta
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Parece que el siguiente.
Deje $\Delta=\operatorname{conv}\{x_0,x_1,\dots,x_n\}\subset\mathbb R^n$ $n$- dimensonal simplex con los vértices $x_0,x_1,\dots, x_n$. Deje $x\in\Delta$ ser un punto arbitrario. Entonces existe una no-números reales negativos. $\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_n$ tal que $\sum_{i=0}^n \lambda_i=1$$x=\sum_{i=0}^n \lambda_i x_i$. Vamos a ver más: para cada vértice $x_i$ hay un $n$-ball $B_{ij}$ con antipodal vértices $x_i$ $x_j$ que cubre el punto de $x$. En efecto, supongamos que a la inversa. El punto de $x$ no está cubierto por una $n$-ball $B_{ij}$ con antipodal vértices $x_i$ $x_j$ fib
$$\left|x-\frac{x_i+x_j}2\right|>\left|\frac {x_i-x_j}2\right|.$$
Después de la rutina equivalente transformaciones de esta condición por arte de magia se convierte en
$$(x-x_i,x -x_j)>0,$$
lo que significa es equivalente al ángulo entre los vectores $x_i-x$ $x_j-x$ es de menos de $\pi/2$. :-)
Supongamos que el punto de $x$ no está cubierto por cada una de las $n$-ball $B_{ij}$. Entonces
$$0<\sum_{j=0}^n \lambda_j (x-x_i,x - x_j)=\sum_{j=0}^n (x- x_i, \lambda_j x - \lambda_j x_j)= (x- x_i, x - x)=0,$$
una contradicción.
Además, al igual que la prueba debe demostrar que para cada vértice $x_i$ de un convexo $n-$poliedro $P$ la familia de $n$-bolas $\{B_{ij}$ con antipodal vértices $x_i$ y $x_j$: $x_j$ es un vértice del poliedro $P$ $\}$ cubre $P$.
