Cómo evaluar la suma de $\sum_{k=2}^{\infty}\log{(1-1/k^2)}$?

Question

Cómo evaluar la suma de $$\sum\limits_{k=2}^{\infty}\log{(1-1/k^2)}\;?$$

Answer 1

Sugerencia:

$$\log(1 - 1/k^2) = [\log(k+1) - \log(k)] - [\log(k) - \log(k-1)]$$

Answer 2

$$\sum_{k=2}^{+\infty}\log\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\log\prod_{k=2}^{+\infty}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\tag{1}$$ pero el producto en el lado derecho de la $(1)$ es telescópica: $$\prod_{k=2}^{N}\left(1-\frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^{N}\frac{k-1}{k}\prod_{k=2}^{N}\frac{k+1}{k}=\frac{N+1}{2N}\tag{2} $$ por lo tanto: $$\sum_{k=2}^{+\infty}\log\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\log\frac{1}{2}=\color{red}{-\log 2}.\tag{3}$$