La transformada de Fourier de $\frac{\arctan(x)}{x}$

Question

Si trato de calcular la transformada de fourier de $$ f(x)=\frac{\arctan(x)}{x} $$ Arce de retorno de la función

$$ g(\omega) = \frac{1}{2} \pi e^{-|\omega|} $$

Sin embargo cuando trato de calcular la inversa de la transformada de fourier de $g$ I get

$$ h(x) = \frac{1}{2(x^2 + 1)}. $$

comando que se utilizan son "fourier" y "invfourier". Me preguntaba si hay una manera de derivar por la "mano" de la transformada de fourier, la función es de $L^2$, por lo que existe.

Actualización:

A continuación una captura de pantalla de los comandos que se utilizan.

Answer 1

Escribir

$$\frac{\arctan{x}}{x} = \int_0^1 \frac{du}{1+x^2 u^2} $$

de modo que el FT puede ser escrito como

$$\int_0^1 \frac{du}{u^2} \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{\frac1{u^2}+x^2} $$

El interior de la integral es simplemente el pie de la función de Lorenz, o $\pi u e^{-|k|/u}$. El FT es entonces

$$\pi \int_0^1 \frac{du}{u} e^{-|k|/u} = \pi \int_1^{\infty} \frac{du}{u} e^{-|k| u} = \pi \Gamma(0,|k|)$$

Answer 2

Aquí, vamos a usar la forma de la transformada de Fourier de una función $f$ $$\mathscr{F}\left(f\right)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{i\omega x}\,dx$$Integrales son interpretados en términos de Cauchy Valores Principales.

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Podemos usar el Teorema de Convolución para encontrar la transformada de Fourier de $\frac{\arctan(x)}{x}$. En primer lugar, tomamos nota de que las transformadas de Fourier de $\frac1x$ $\arctan(x)$ están dadas respectivamente por

$$\mathscr{F}\left(\frac{1}{x}\right)=i\pi \,\text{sgn}(\omega) \tag 1$$

$$\begin{align} \mathscr{F}\left(\arctan(x)\right)&=\frac{i}{\omega}\,\mathscr{F}\left(\frac{d\arctan(x)}{dx}\right)\\\\ &=\frac{i}{\omega}\,\mathscr{F}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)\\\\ &=\frac{i\,\pi}{\omega} \,e^{-|\omega|} \tag 2 \end{align}$$

Entonces, usando el Teorema de Convolución, encontramos que para $\omega\ne 0$, la transformada de Fourier de $\frac{\arctan(x)}{x}$ está dado por

$$\begin{align}\mathscr{F}\left(\frac{\arctan(x)}{x}\right)&=\text{PV}\left(\int_{-\infty}^\infty i\pi \,\text{sgn}(\omega-\omega')\,\frac{i\pi}{\omega'} \,e^{-|\omega'|}\,d\omega'\right)\\\\ &=-\frac{\pi}{2}\,\lim_{\epsilon\to0}\left(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\text{sgn}(\omega-\omega')\,\frac{e^{-|\omega'|}}{\omega'} \,d\omega'+\int_{\epsilon}^\infty \text{sgn}(\omega-\omega')\,\frac{e^{-|\omega'|}}{\omega'}\,d\omega'\right)\\\\ &=-\frac{\pi}{2}\,\left(\int_{-\infty}^{-|\omega|}\text{sgn}(\omega-\omega')\,\frac{e^{-|\omega'|}}{\omega'} \,d\omega'+\int_{|\omega|}^\infty \text{sgn}(\omega-\omega')\,\frac{e^{-|\omega'|}}{\omega'}\,d\omega'\right)\\\\ &=\frac{\pi}{2}\,\left(-\int_{-\infty}^{-|\omega|}\frac{e^{\omega'}}{\omega'} \,d\omega'+\int_{|\omega|}^\infty \,\frac{e^{-\omega'}}{\omega'}\,d\omega'\right)\\\\ &=\pi \int_{|\omega|}^\infty \frac{e^{-\omega'}}{\omega'}\,d\omega'\\\\ &=\pi \Gamma\left(0,|\omega|\right) \end{align}$$

donde $\Gamma(x,y)=\int_y^\infty u^{x-1}e^{-u}\,du$ es la parte superior de la Función Gamma Incompleta.