Hacer números primos satisfacer esta?

Question

Es cierto que $n\log\left(\frac{p_n}{p_{n+1}}\right)$ es acotado, donde $p_n$ $n$- ésimo número primo?

Answer 1

Parece ilimitado:

Deje $g_n = p_{n+1} - p_n$ ser el primer hueco, a continuación, Westzynthius del resultado (ver enlace abajo) los estados que $\lim\sup \left[ g_n/(\log p_n) \right] = \infty$, por lo tanto

$$\lim \sup n \log(p_{n+1}/p_n) = \lim \sup n \log (1 + g_n/p_n) = \lim \sup n g_n/ p _n = \lim \sup g_n/\log n = \infty$$

http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%27s_conjecture

Answer 2

$\frac{p_n}{p_{n+1}}<1$ todos los $n$, por lo que cuando $n\to\infty$, $(\frac{p_n}{p_{n+1}})^n\to0$. así $$n\log(\frac{p_n}{p_{n+1}})=\log(\frac{p_n}{p_{n+1}})^n\to-\infty$$ así que esto es no acotada