Construir una Caja rectangular con un volumen de K cm^3

Question

Demostrar que un cubo utiliza la menor cantidad de material para la construcción de la caja

Answer 1

Vamos $x$, $y$ y $z$ de las longitudes de los lados de la caja. Si suponemos que esta caja está cerrada, tenemos que minimizar la función de $f(x,y,z)=2xy+2xz+2yz$ restringido a $xyz=K$, podemos escribir el volumen de la caja, $V$, como sigue $$V=2\left(xy+\frac{K}{y}+\frac{K}{x}\right)$$ Si fijamos $x$, luego tenemos a $V_y=2\left(x-\frac{K}{y^2}\right)$ $V_{yy}=\frac{4K}{y^3}>0$ $V$ alcanzar su mínimo valor para esta $x$ al $y=\sqrt{\frac{K}{x}}$. Ahora que estamos buscando en función de las $x\mapsto2\left(2\sqrt{Kx}+\frac{K}{x}\right)$ alcanzar su valor mínimo.

Answer 2

Sugerencia: Si usted sabe de cálculo y está permitido el uso de multiplicadores de Lagrange, las utilizan para encontrar un máximo global para el volumen de $abc$ suponiendo que la cantidad de material para el cuadro de $2(ab + bc + ca)$ es fijo, y $a,b,c > 0$. Es bastante obvio que un máximo global debe de existir que es un máximo local para $a,b,c > 0$, y no existe mínimo de positivos $a,b,c$ porque siempre se puede hacer un lado arbitrariamente pequeña y tomar el volumen a cero.

Answer 3

Inicio de un cubo con lados $x$, $y$, y $z$ en longitud, lo $x=y=z$. El volumen es $xyz$, y el área de la superficie es $2(xy+xz+yz)$. Para comprobar si se puede cambiar este cuadro de manera que tiene el mismo volumen, pero más pequeñas de la zona, a escala de un lado a otro por algún número $c$ que es mayor que 1. Eso significa que uno de los lados debe también a escala, pero por $1/c$. El área de la superficie es ahora

$$2(x(cy)+x(\frac{1}{c})+yz)$$

Y este es ahora mayor que la de la zona anterior, debido a que

$$\begin{align*} x(cy)+x(z/c)&=cxy+\frac{1}{c}xz\\ &=(x^2)(c+\frac{1}{c}),\,\,\,x^2=xy=xz=yz\\ &>x^2 \end{align*} $$

Y por lo que ha hecho ahora el área de $c+\frac{1}{c}$ veces más grande. El mismo método puede ser demostrado por la escala de la situación en la que tanto $x$ $z$ de la escala descendente de acuerdo con el $y$ escala hacia arriba.

Answer 4

El AM/GM de la desigualdad muestra que $2(xy + yz +zx) \ge 6 (xyz)^{\frac{2}{3}}$, con igualdad sólo al $x=y=z$.