¿No tiene una cuenta real?

Question

En el artículo de Wikipedia sobre la Muestra es el siguiente comentario:

"Tenga en cuenta que una muestra de variables aleatorias (es decir, un conjunto de funciones medibles no debe confundirse con las realizaciones de estas variables (que son los valores que estas variables aleatorias). En otras palabras, $X_i$ es una función que representa la medición del $i$-th experimento y $x_i = X_i(ω)$ es el valor que obtenemos al realizar la medición."

Me temo que no entiendo de este pasaje, ¿alguien puede por favor explicar el punto?

Answer 1

Supongamos que hay infinitamente muchos seres humanos y que su coeficiente intelectual tiene una distribución normal con media de 100 y la varianza 15. Aquí es un posible experimento:

agarrar 10 personas centro de la ciudad y medir su coeficiente intelectual

Como un modelo matemático, aceptamos la configuración que existe una probabilidad de espacio $\Omega$ y "agarrar humanos número i" está modelada por una "variable aleatoria" $X_i$ que es una función medible $$ X_i: \; \Omega \to \mathbb{R} $$ tal que el $X_i$ son independientes y tienen una gaussiana aka distribución normal.

Cuando usted sale y acutally realizar este experimento, recibirá diez de los seres humanos y los diez valores (números reales) para theiy de IQ. Vamos a llamarlos $IQ_i$. Con respecto a nuestro modelo matemático, esto significa que por cada humano que convencido de que hacer con el IQ-Test correspondiente $\omega \in \Omega$, cada uno de los cuales es llamado un evento, de tal manera que $$ IQ_i = X_i(\omega) $$

Al salir de nuevo y llevar a cabo este experimento de nuevo, puede aceptar las mismas variables aleatorias $X_i$ como un modelo para el experimento, pero te vas a encontrar diferentes a los seres humanos, los resultados son diferentes de los de IQ-Test, que corresponde a una $\omega ' \in \Omega$.

O, para decirlo en breve como Didier Piau hizo: La descripción de el experimento se comporta como un modelo matemático de las variables aleatorias aka funciones medibles $X_i$; pero cada vez cuando en realidad se lleva a cabo el experimento, que se traducirá en una tupla de valores de estas funciones.

Answer 2

WP formulación es ambigua, en particular la segunda frase citada por el OP parece insinuar una distinción relacionada con la precisión de una medición o una aproximación, o a intervalos vs valores exactos. Nada de eso es relevante. Más bien, quiere distinguir una función de uno de sus valores. Para las funciones de$E$$F$, es decir, la primera es un elemento de $F^E$ y el segundo es un elemento de $F$ (y en la teoría de la probabilidad, $E$ es a menudo denotado por $\Omega$ $F$ $\mathbb{R}$ o un poder de $\mathbb{R}$, pero esto no es importante).

Answer 3

Creo que, como @Didier Piau señalado, el mensaje es no confundir los valores de la función con la misma función. Si esto es así, el mensaje parece bastante trivial para mí. Es como decir: "no hay que confundir los números reales 4, 9, 16 con la función de $f(x) = x^2$." Bueno, creo que nadie lo hace!

Answer 4

Cuando una variable aleatoria toma un valor, no siempre de forma explícita saber exactamente este valor, que sólo se puede medir, es decir, el uso de una función del resultado que las salidas de la medición. Por ejemplo, el muestreo de los números reales en el $[0,1]$ y medición de los mismos sólo hasta 3 dígitos de precisión, si la primera variable aleatoria $X_1$ obtiene el valor de $\pi/4$ por ejemplo, usted podría decir $X_1 = 0.785$, ya que la función medible $X_1$ mapas de cualquier $\omega$ en el intervalo de $(0.7845,0.7855]$$0.785$.

En otras palabras, $\omega$ es el "valor real", si se podría decir de esto, de la variable aleatoria y $X_1$ es una manera de medir el valor real de dejar que se convierta en una función medible.

Espero que ayude,