Estoy ayudando a un amigo con el problema 7 de la sección 3.3 de Vestrup de la 'Teoría de las Medidas y de las Integrales'. Llegamos a mitad de camino en el problema, pero después de un par de horas charlando acerca de él que todavía estaban perplejos. Creo que es un divertido problema (aunque no exactamente de la investigación-grado), así que voy a postear aquí!
Primero debemos fijar un conjunto $\Omega$, un punto de $\omega \in \Omega$, y un álgebra de conjuntos de $A \subset 2^\Omega$ tal que $\{\omega\}$ es un átomo de $\sigma(A)$.
A continuación, defina $\mu(M) = 1_M(\omega)$$M \in A$. Definimos el exterior de la medida asociada con $\mu$ dejando $\mu^*(M) = \inf \{\sum{ \mu(F_i)}\ |\ F_i \in A,\ M \subset \cup F_i \} $ donde $F_i$ son en la mayoría de los contables de $A$-portadas de M.
La pregunta es ¿qué es $\mu^*$? ¿Cuáles son los conjuntos medibles de $\mu^*$?
Algunos de los trabajos hasta la fecha:
Si $\omega \in M$,$\mu^*(M) = 1$. Para ver esto, observe que cualquier $A$-cubierta de $M$ debe cubrir $\omega$ al menos una vez, y por lo tanto,$\mu^*(M) \geq 1$. Sin embargo $\mu(\Omega) = 1$ límites cosas bruscamente de arriba.
Por otro lado, si $M$ es no vacío y $\omega \notin M$, parece razonable que los $\mu^*(M) = 0$. Sin embargo, hemos tenido un tiempo difícil descartar la posibilidad de donde $M$ no admiten $\omega$libre de $A$-cubre. Pensamos que la condición en la que genera $\sigma$-álgebra de $A$ es la clave para entender lo que sucede, pero no sé cómo aplicarlo.
Si se relaja la condición de que $\{\omega\} \in \Sigma(A)$, se puede obtener un muy trivial exterior de la medida. Deje $A = \{\Omega, \emptyset\}$, y la revisión de un arbitrario $\omega$. A continuación, $\mu^*(M) = 1$ por el no-vacío $M$, y cero en caso contrario. En este caso, $\sigma(A) = A$ $\{\omega\}$ está en ninguna parte ser encontrado.
Por otro lado, vamos a $\Omega = [0,1]$, fix $\omega = 0$, y deje $A$ por el álgebra generada por la familia de conjuntos de $F_i = [1, 1/i]$. En este caso, $\{0\}$ no es un átomo de $A$, sin embargo, no pertenecen a $\sigma(A)$. Pero ahora, hacemos las cosas como $\mu^*((0,1]) = 1$ y, en general, $\inf{M} = 0$ conlleva $\mu^*(M) = 1$, ya que todos los $A$-portadas de $M$ debe incluir $0$.
Así que, salvo errores, parece que puede no ser tan fácil para caracterizar $\mu^*$ !
[Modificar:] parece que me hizo cometer un error. Es decir, en el ejemplo que les he dado, $A$ tiene los conjuntos $G_i = (1/i, 1]$, siendo el de los complementos de la $F_i$. Pero $G_i$ eventualmente cubre cualquier punto individual en $(0,1]$, sin incluida $0$, por lo que resulta $\mu*((0,1]) = 0$, como se esperaba. Yo todavía no saben cómo mostrar el si $0 \in \sigma(A)$ es necesario o suficiente para esto.
Hay una historia más profunda aquí?
