Infinito-dimensional Unitario representions que no son completamente reducible

Question

El Peter-Weyl teorema afirma que para un compacto de Lie del grupo de $G$ cada unitaria irreductible representación es necesariamente finito-dimensional y cualquier representación unitaria es una suma directa de irreducibles.

1) no Es cualquier representación de un grupo compacto (finito o infinito-dimensional) la representación de un grupo compacto unitarizable y por lo tanto completamente reducible? O lo hace sólo para finito-dimensional?

2) Ahora si $G$ no es compacto, ¿cómo funciona exactamente la situación de cambio? Si tengo un infinito-dimensional unitaria representación de un no-grupo compacto, también es siempre completamente reducible? También, que noncompact grupo de poseer (no trivial) finito-dimensional unitario de representaciones?

Answer 1

1. En el finito-dimensional caso de que esto es claro por el promedio. En el infinito-dimensional caso, depende de lo que entendemos por una representación. Un muy general, cosa que se puede pedir es una representación en algún espacio vectorial topológico, pero la mayoría de los espacios vectoriales topológicos no son espacios de Hilbert por lo que es claro lo que incluso podría significar para este tipo de representación para ser unitarizable. Si te refieres a una continua representación en un espacio de Hilbert, entonces el mismo promedio de argumento funciona. El contenido de Peter-Weyl teorema no es unitario representaciones son completamente reducible: eso es un hecho general. Se afirma la existencia de un lote de más datos interesantes de este, tales como la matriz de coeficientes de unitarias irreducibles puntos separados.

2. Noncompact semisimple Mentira grupos, en general, tienen muchos interesantes irreductible de dimensiones infinitas representaciones, algunos, pero no todos de los cuales son unitarizable. Todavía es cierto que el unitario de representaciones son completamente reducible (y la prueba es el mismo), pero a menudo no hay ninguna que no sea trivial finito-dimensional: por ejemplo, si $G$ es un noncompact simple Mentira grupo como $PSL_2(\mathbb{R})$, no se puede incrustar en cualquier grupo unitario $U(n)$ (todos los cuales son compactos).