¿Por qué $\lim\limits_{x\to\infty}(x!)^{1/x}\neq 1?$

Question

¿Por qué $\lim\limits_{x\to\infty}(x!)^{1/x}\neq 1?$

Hasta donde yo sé, nada que el poder de la $0$$1$.

Tenemos un factorial elevado a $1/\infty=0$, pero el límite no es $1$? Ni siquiera sé cuál es el límite. Pero parece que el infinito? ¿Por qué es esto?

Answer 1

Que no sigue: $1/x$ no es lo mismo que $0$, incluso para valores muy grandes de $x$. Tenga en cuenta que "el límite de $x$ va al infinito" no es la misma cosa como "plug en el infinito donde veas $x$". Es acerca de cómo la función se comporta de más y más $x$. No importa cuán grande $x$ obtiene, $1/x$ es positivo y, como tal, podemos encontrar un (posiblemente enorme) número real $\alpha$ tal que $\alpha^{1/x}$ es tan grande como queramos. Por ejemplo, usted estará de acuerdo en que

$$\lim_{x \to \infty} (a^x)^{1/x} = a.$$

Combinando esto con el hecho de que $x! > a^x$ cualquier $a$ y suficientemente grande $x$, no debería ser demasiado sorprendente que

$$\lim_{x \to \infty} (x!)^{1/x} = \infty.$$

Answer 2

El método (1). Demostrar la siguiente: Si $f(x)\to \infty$ $x\to \infty$ $G(n)=\frac {1}{n}\sum_{j=1}^nf(j)\to \infty$ $n\to \infty.$

Con $f(x)=\ln x$ tenemos $G(n)=\ln (n!^{(1/n)}).$

El método (2). $\ln x$ es monótona creciente. Así, por $n\geq 2$ tenemos $\ln n>\int_{n-1}^n \ln x\;dx .$, por Lo que $$\ln n!=\sum_{j=2}^n \ln j>\sum_{j=2}^n\int_{j-1}^j\ln x\;dx=\int_1^n \ln x \;dx=n(\ln n)-n+1.$$ Therefore for n\geq 2 we have $$\ln (n!^{(1/n)})=\frac {1}{n}\ln n!>\frac {1}{n}(n (\ln n)-n+1)=(\ln n)-1+\frac {1}{n}.$$

Answer 3

Un útil la desigualdad es $n! > (n/e)^n$. Esto puede ser demostrado por inducción de $(1+1/n)^n < e$.

A partir de este $(n!)^{1/n} > n/e$ y este último es ilimitado.

Answer 4

Creo que está bien tomar sólo valores enteros para el uso de la propiedad de logaritmo: $k! =e^{\log k!}=e^{\sum_{j=1}^{k}\log j}$ Asintóticamente suma es el mismo como parte integral de lo que es $k \log k$. Enchufe de nuevo en la expresión y verá que diverge.

Answer 5

Como Salahamam_ Fátima comentó, pensar acerca de la aproximación de Stirling.

$$y=(x!)^{1/x}\implies \log(y)=\frac 1x \log(x!)$$ Now, using Stirling approximation $$\log(x!)=x (\log (x)-1)+\frac{1}{2} \left(\log (2 \pi )+\log \left({x}\right)\right)+O\left(\frac{1}{x}\right)$$ $$\log(y)=(\log (x)-1)+\frac{\log (2 \pi )+\log \left({x}\right)}{2 x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ and now, $$y=e^{\log(y)}=\frac{x}{e}+\frac{\log (2 \pi )+\log \left({x}\right)}{2 e}+O\left(\frac{1}{x}\right)$$