Me gustaría recibir ayuda con la integración de e−sin(x) . Gracias a quien me ayude :)
Dado que sin(x)>2xπ para 0<x<π2 donde ∫π/20e−sinxdx<∫π/20e−2x/πdx
RTS:
∫π/20e−sinxdx=∫ππ/2e−sinxdx
Me gustaría recibir ayuda con la integración de e−sin(x) . Gracias a quien me ayude :)
Dado que sin(x)>2xπ para 0<x<π2 donde ∫π/20e−sinxdx<∫π/20e−2x/πdx
RTS:
∫π/20e−sinxdx=∫ππ/2e−sinxdx
Tenemos: I=∫π/20e−sinxdx=∫10e−t√1−t2dt y desde entonces: e−t=∑k≥0(−1)ktkk!,∫10tk√1−t2dt=∫π/20sinkθdθ=Γ(12)Γ(k+12)2Γ(k2+1) ( véase Integrales de Wallis para más información ) se deduce que: I=∑k≥0(−1)kΓ(12)Γ(k+12)2Γ(k2+1)Γ(k+1)=π2∑k≥0(−1)k2kΓ(k2+1)2=π2(I0(1)−L0(1)), donde I0 y L0 son un Bessel y un Función Struve .
En cuanto a por qué el integrando no posee una antiderivada expresable en términos de funciones elementales, véase Teorema de Liouville y el Algoritmo Risch .
\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \ds{} \begin{align}&\overbrace{\color{#66f}{\int_{0}^{\pi/2}\expo{-\sin\pars{x}}\,\dd x}} ^{\ds{\dsc{\sin\pars{x}}=\dsc{t}\ \imp\ \dsc{x}=\dsc{\arcsin\pars{t}}}}\ =\ \int_{0}^{1}\frac{\expo{-t}}{\root{1 - t^{2}}}\,\dd t =\color{#66f}{\large -\,\frac{\pi}{2}\,{\rm M}_{0}\pars{1}} \approx{\tt 0.8731}\tag{1} \end{align} \ds{\,{\rm M}_{\nu}\pars{z}} es un Función de Struve modificada .
El resultado \ds{\pars{~\mbox{given in expression}\ \pars{1}~}} corresponde a 11.5.4 en este enlace .
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Creo que no se puede hacer en términos de funciones elementales
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¿qué quiere decir exactamente con esto?
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Quiero decir que probablemente la primitiva no puede darse en términos de funciones elementales.
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¿Quiere decir que estamos integrando sobre el intervalo [0,π/2] ?
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Sí, nos estamos integrando por encima de estas fronteras
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Esto no tiene una buena solución de forma cerrada.
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Consulte aquí: wolframalpha.com/input/