Ayuda a la integración - pregunta: $e^{-\sin(x)}$

Question

Me gustaría recibir ayuda con la integración de $e^{-\sin(x)}$ . Gracias a quien me ayude :)

Dado que $\sin(x) > \frac{2x}{\pi}$ para $0 < x < \frac{\pi}{2}$ donde $$\int_0^{\pi/2}e^{-\sin x}\,dx<\int_0^{\pi/2}e^{-2x/\pi}\,dx$$

RTS:

$$\int_0^{\pi/2}e^{-\sin x}\,dx=\int_{\pi/2}^{\pi}e^{-\sin x}\,dx$$

Answer 1

Tenemos: $$I=\int_{0}^{\pi/2}e^{-\sin x}\,dx = \int_{0}^{1}\frac{e^{-t}}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$$ y desde entonces: $$e^{-t}=\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k t^k}{k!},\qquad \int_{0}^{1}\frac{t^k}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =\int_{0}^{\pi/2}\sin^k\theta\,d\theta=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)}$$ $($ véase Integrales de Wallis para más información $)$ se deduce que: $$I = \sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)\Gamma(k+1)}=\frac{\pi}{2}\sum_{k\geq 0}\frac{(-1)^k}{2^k \Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)^2}=\color{red}{\frac{\pi}{2}\left(I_0(1)-L_0(1)\right)},$$ donde $I_0$ y $L_0$ son un Bessel y un Función Struve .

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En cuanto a por qué el integrando no posee una antiderivada expresable en términos de funciones elementales, véase Teorema de Liouville y el Algoritmo Risch .

Answer 2

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ $\ds{}$ $$\begin{align}&\overbrace{\color{#66f}{\int_{0}^{\pi/2}\expo{-\sin\pars{x}}\,\dd x}} ^{\ds{\dsc{\sin\pars{x}}=\dsc{t}\ \imp\ \dsc{x}=\dsc{\arcsin\pars{t}}}}\ =\ \int_{0}^{1}\frac{\expo{-t}}{\root{1 - t^{2}}}\,\dd t =\color{#66f}{\large -\,\frac{\pi}{2}\,{\rm M}_{0}\pars{1}} \approx{\tt 0.8731}\tag{1} \end{align}$$ $\ds{\,{\rm M}_{\nu}\pars{z}}$ es un Función de Struve modificada .

El resultado $\ds{\pars{~\mbox{given in expression}\ \pars{1}~}}$ corresponde a $11.5.4$ en este enlace .