Para calcular el período de un cuasi-órbita circular

Question

En la resolución de un ejercicio que tenía que encontrar la ecuación de la cuasi-órbitas circulares de un objeto con el potencial de $V(r)=-\alpha r^{-1-\eta}$, y se expresa como: $$r(\phi)=\frac{r_c}{1+\epsilon \cos(\phi\sqrt{1-\eta})}$$ Donde $r_c$ es el radio de la órbita circular y $\epsilon$ depende de las condiciones iniciales. Ahora (entre otras cosas) me preguntan por el período del movimiento. Pensé que con el fin de encontrar el período que debe integrar a $\phi(t)$ mediante la conservación del momento angular $L$ en la forma $\dot\phi(t)=\frac{L}{mr^2(\phi)}$. Esta integración no es fácil en absoluto y, en mi opinión, sólo puede ser aproximada.

Sin embargo, el autor de el ejercicio escribió que el periodo puede ser encontrado fácilmente por la $mr_c^22\pi/T=L$ pero no explica por qué. Mi pregunta es ¿de dónde viene esta fórmula proviene y si es exacto o sólo una aproximación.

Answer 1

Creo que los "cuasi-circular" es un nombre engañoso para este problema. Tal vez "cuasi-elíptica" sería mejor? Digo esto porque este problema, de hecho, contienen un cerrado órbita circular (el radio de la que han llamado $r_c$). Para que la órbita usted puede encontrar el período de uso de la segunda ley de Kepler, la cual da el resultado que se muestra.

Una interesante forma de abordar este problema es considerar sólo pequeñas oscilaciones radiales sobre el círculo. Encontrar la frecuencia de oscilación ampliando el potencial efectivo sobre el mínimo. Ver cómo esto se relaciona con la frecuencia de la órbita circular. ¿Qué sucede cuando $\eta\rightarrow 0$? Usted debe encontrar que en ese caso (inversa del cuadrado de la fuerza de la ley), la pequeña frecuencia de oscilación es idéntica a la de la órbita circular de la frecuencia. Esta es otra manera de ver que las órbitas deben ser elipsoidal. Pero, para que no sea cero $\eta$, este no es el caso. Para las pequeñas $\eta$, en lugar de acercarse-elipses que simplemente no se cierran. Estos precesión elipses son descritos por el radial fórmula que le dio.

Answer 2

Su problema es de un potencial que depende sólo de la radio. Newton demostró que con este tipo de problemas, el momento angular se conserva. Su instructor utiliza este hecho bien conocido.