Curvas algebraicas implícitas oponeros

Question

De vuelta en el día, yo estaba totalmente cautivado por el estudio de las curvas planas y sus propiedades (tengo Lockwood y Zwikker agradecer). Pronto aprendí que para los fines de la generación de parcelas en un equipo (y para el caso, la deducción de las ecuaciones de "derivados de las curvas" y la determinación de otras propiedades especiales), uno debe tratar de encontrar una representación en ecuaciones paramétricas para su avión de la curva.

Según recuerdo, en el trato con las curvas algebraicas representado por un implícito ecuación Cartesiana, yo sabía de sólo tres trucos para derivar ecuaciones paramétricas de una forma implícita de la ecuación (listados en orden decreciente de eficacia; me nota que me hizo todas estas investigaciones, incluso antes de que yo sabía de álgebra computacional de sistemas existía):

1: Convertir a coordenadas polares para expresar en la forma $r=r(\theta)$; las ecuaciones paramétricas son entonces

$\begin{align*}x&=r(\theta)\cos\,\theta\\y&=r(\theta)\sin\,\theta\end{align*}$

2: El $y=mx$ "truco" (yo nunca lo hice llegar a aprender el nombre formal para esta técnica); el uso de la ecuación implícita de la capa delgada de Descartes como un ejemplo:

$x^3+y^3=3xy$

$x^3+(mx)^3=3x(mx)$

y, a continuación, resolviendo para x y usando la relación $y=mx$ nuevo,

$\begin{align*}x&=\frac{3m}{1+m^3}\\y&=\frac{3m^2}{1+m^3}\end{align*}$

(Recuerdo que esto funcionó especialmente bien para las curvas de cuyo (¿único?) puntos singulares son el origen, pero no se muy bien para otras curvas; ¿alguien puede explicar por qué?)

3: al Azar sustitución de x o y con cualquiera de las seis funciones trigonométricas (tal vez multiplicado por una conveniente constante), y espero que yo pueda resolver fácilmente de la otra variable. Por ejemplo, me las arreglé para deducir la ecuación paramétrica de la bicorn y la Durero conchoid de esta manera.

Probablemente la única otra cosa que he aprendido después de que yo me había mudado a otras cosas fue que las curvas elípticas, por ejemplo, puede ser representado como ecuaciones paramétricas que implican la Weierstrass ℘ función o la elíptica exponencial, pero al parecer, esto es limitado para curvas elípticas sólo.

Ahora mi pregunta: ¿se me olvida cualquier otro útil (?) métodos para activar implícita la ecuación Cartesiana de una curva algebraica en ecuaciones paramétricas?

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Addendum, 8/7/2011

Yo no quería preguntar una pregunta aparte, así que: ¿existen métodos sistemáticos para la parametrización un avión curva algebraica en términos de (Jacobi o de Weierstrass) elíptica funciones? Por ejemplo, encontramos aquí que el Fermat cúbico $x^3+y^3=a^3$ puede ser parametrizado en términos de Weierstrass de funciones, además de la curva elíptica ejemplo dado anteriormente. También he encontrado en mis lecturas que el Cartesiano óvalos también se puede parametrizar con funciones de Weierstrass, pero he sido incapaz de encontrar una construcción explícita de las ecuaciones paramétricas.

Answer 1

Esta no es la intención como una respuesta completa, sino como una manera de tratar de decidir si es factible poder parametrizar un plano de la curva en una manera fácil.

Los dos ejemplos que das, es decir, la capa delgada y la bicorn, son ejemplos de "irreductible curvas geométrico de género cero". Para el propósito de esta discusión se puede tomar "irreductible de la curva" para significar el lugar geométrico de los ceros de un polinomio irreducible en dos variables. Geométrico de género cero es más difícil de definir, a pesar de ver a esta pregunta y varias respuestas, sobre todo la respuesta de Matt E. En los enlaces de respuesta, el "género" que se define es la "aritmética de género", mientras que a nosotros nos interesa el "geométrico de género".

Los dos géneros no son ajenos, y la discrepancia entre ellos se concentra en los puntos singulares de la curva. Un punto singular de un avión de la curva de $C$ da como la fuga de un polinomio $f(x,y)$ es un punto de $p$ en el avión, que se encuentra en la curva (es decir,$f(p)=0$) y donde ambas derivadas parciales de $f$ desaparecer (es decir,$df/dx(p)=df/dy(p)=0$).

Así, mientras que la aritmética de género de un (irreductible) plano de la curva de $C$ grado $d$ es simplemente $p_a:=(d-1)(d-2)/2$, la geometría del género de $C$ es un entero menor o igual a $p_a$. No me extenderé demasiado sobre cómo calcular la geometría del género, por el momento me limitaré a decir que cada punto singular disminuye la aritmética de género por lo menos uno (contando también la "esotérico" puntos singulares en el infinito, como es necesario explicar el bicorn). Hay algorítmica manera de decidir la caída en el género que cada punto singular determina y por lo tanto el cálculo de la geometría del género puede ser tomado como "fácil".

Sobre los números complejos. Es un hecho que, cada vez que el geométrica de género de una irreductible de la curva de $C$ es cero, entonces usted puede encontrar una parametrización de $C$ por funciones racionales de una sola variable $t$, a condición de que usted está pensando acerca de las soluciones complejas de la curva. Esta parametrización se puede encontrar a través de algoritmos, y aunque hay varios trucos para el uso, la sustitución de $y=mx$ es el centro: dependiendo del contexto se podría haber llamado "proyección" o "blow up". El otro truco es que usted puede "reembed" su curva considerando el espacio vectorial cuyas coordenadas son todas las monomials de algún grado de $n$ y tomar la imagen de la curva de debajo del mapa que envía a un punto en el plano de la $N$-tupla de todas las evaluaciones de la monomials que usted ha elegido. En lugar de ser más explícito, permítanme darles un ejemplo: si la curva es la $x$-eje en el plano, y usted puede elegir la monomials $1,x,y,x^2,xy,y^2$ a reembed, entonces tenemos la imagen de la $x$-eje (es decir, el lugar donde $y=0$) es el conjunto de puntos con coordenadas $(1,x,0,x^2,0,0)$ en una de las 6 dimensiones del espacio. Olvidar el inútil coordenadas (esto es un ejemplo de proyección) nos da un plano de la curva parametrizada por $(x,x^2)$, es decir, la parábola $x_1^2=x_2$. En este ejemplo, hemos comenzado con una parametrización y que terminó con la parametrización. Ser más refinado, usted también puede comenzar con una forma implícita de la ecuación y el final con (gran cantidad de) ecuaciones implícitas en más variables.

Una vez que se tienen las proyecciones y reembeddings se puede jugar uno contra el otro: incrustar su curva en el espacio lo suficientemente grande como. Proyecto de distancia de puntos singulares hasta llegar de nuevo a un avión; reembed y reproyectar. Hay una manera de asegurarse de que "los puntos singulares se resuelven" por hacer esto, por lo que, finalmente, llegar a una curva no tener puntos singulares. Una vez allí, además de las proyecciones de hacer el truco de llegar a una línea.

Sobre los números reales. Por supuesto, las cosas son un poco más complicado. Sin duda dos posibilidades son la capa delgada, donde lo racional parametrización usted tenido a través de los números complejos "simplemente funciona" sobre los reales, pero hay un poco más elaborado de uno de los bicorn, donde se tiene una racional parametrización en términos de funciones trigonométricas. De nuevo, por la modificación de los trucos se mencionó anteriormente, usted puede conseguir cada irreductible de la curva de género cero para convertirse en un avión de la cónica. Una vez en esta forma, usted encontrará una racional parametrización si y sólo si usted puede encontrar un punto, y de decidir si existe un punto que se reduce al cálculo de si una matriz se construye a partir de los coeficientes de la ecuación tiene los autovalores de diferentes signos o no. La distinción entre el conocimiento de la parametrización en términos de una variable o en términos de funciones trigonométricas tiene que ver con el gusto personal.

Hasta ahora, esto se ha abordado con curvas de género cero y no voy a decir mucho acerca de más de un género. Si el género es uno, no es, como usted ha mencionado, la posibilidad de utilizar el Weierstrass $\wp$. Aquí las cosas se vuelven más complicadas: la función que se utiliza para parametrizar todo lo que es menos conocido, probablemente necesitará trascendental números para obtener esta parametrización para el trabajo, y la descripción topológica del espacio de soluciones se hace más en el camino. En el género de cero caso, la única cosa que importaba era: ¿es vacío, es no vacío. En el género de un caso no es "uno más" posibilidad. Por supuesto, mayor géneros cada vez más difícil, y voy a parar aquí, dado que este ya es manera demasiado para esto!