Es el principio de superposición en un postulado de la electrostática?

Question

Considere dos eléctrico de cargas puntuales $q_1$ $q_2$ descrito por el total de la distribución de carga $\rho = \rho_1 + \rho_2 = q_1 \delta(\vec{r} - \vec{r_1}) + q_2 \delta(\vec{r} - \vec{r_2})$. El total de potencial eléctrico puede ser calculada por $$ \phi(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V{\frac{\rho(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} d^3r'} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V{\frac{\rho_1(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} d^3r'} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V{\frac{\rho_2(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}|} d^3r'} = \phi_1 + \phi_2 $$ como solución de la ecuación de Poisson, que puede ser derivada de las ecuaciones de Maxwell.

Desde $\vec{E} = - \nabla \phi$ y el gradiente de operador es lineal, tenemos $$\vec{E} = - \nabla \phi = - \nabla (\phi_1 + \phi_2) = - \nabla \phi_1 - \nabla \phi_2 = \vec{E_1} + \vec{E_2}$$ lo la superposición principio está reclamando. El principio de superposición es a veces llamado un postulado en la electrostática. Pero no podía ser "derivados" de esa manera?

Answer 1

Pero no podía ser "derivados" de esa manera?

No, porque su punto de partida la declaración de $\rho = \rho_1 + \rho_2$, supone el principio de superposición. Así que usando su derivación para justificar la superposición principio sería razonamiento circular.

Principios que, por su propia definición, no son derivados. En lugar de eso nos evaluar empíricamente con los experimentos. Las teorías son construidas en estos principios. No existe ninguna razón teórica densidades de carga necesita añadir de forma lineal (al menos, no que yo sepa), tal vez en un universo diferente que no.

Answer 2

Las ecuaciones de Maxwell contener la electrostática como caso especial y son lineales, por lo que electrostática de la linealidad en el campo eléctrico está ya contenida en las ecuaciones de Maxwell. Veo la linealidad en el campo eléctrico como consecuencia de $\vec F = q \cdot \vec E$ (donde $\vec F$ es una fuerza, $q$ la carga y $\vec E$ el campo eléctrico) y el hecho de que las fuerzas (la fuerza de vectores) son simplemente suman para dar el total de la fuerza.

Answer 3

Ecuaciones de Maxwell para la electrostática se $\nabla\cdot\vec D = \rho, \nabla\times \vec E = 0$. El segundo le dice a usted, que hay un potencial campo de $\phi$ generación de campo eléctrico como $\vec E = -\nabla \phi$.

Ambas ecuaciones son lineales, lo que significa que si hay $\rho_1, \rho_2$ satisfacción $\nabla\cdot \vec D_1 = \rho_1$$\nabla\cdot \vec D_2 = \rho_2$, $\rho = \rho_1 + \rho_2$ debe poseer $\nabla\cdot (\vec D_1 + \vec D_2) = \rho$. Ecuación de la circulación es trivial.

El hecho importante aquí es, que la teoría se construye sobre las ecuaciones de Maxwell, no en su consecuencia,$\vec E = - \nabla \phi$. La superposición es entonces otro consequency de la linealidad de los operadores diferenciales en ecuaciones (divergencia y de la circulación). Cuenta en este punto que la superposición se mantenga incluso si usted no construir potenciales.

Answer 4

La ecuación de potencial de anotar ya ha asumido la superposición de la ley. Tenga en cuenta que esta ecuación está en forma continua de la superposición de la ley.