Hay un círculo unitario y 4 puntos en el interior del círculo. El problema es demostrar al menos dos están a una distancia menor o igual a $\sqrt2$
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Una idea: tomar el círculo de $\,S^1:=\{(x,y)\in\Bbb R^2\;;\;x^2+y^2=1\}\,$ con el fin de utilizar algunos geometría analítica/álgebra lineal en caso de necesidad, se puede argumentar de la siguiente manera:
Si dos puntos de $\,w_i:=(x_i,y_i)\;,\;i=1,2\;$ , estaba en el mismo cuadrante (incluyendo las partes respectivas de ambos ejes en el cuadrante), entonces su distancia máxima es de $\,\sqrt2\;$ , debido a que
$$||w_1-w_2||^2=||w_1||^2+||w_2||^2-2\langle w_1\,,\,w_2\rangle$$
Pero
$$\min_{w_i\in S^1}|\langle w_1\,,\,w_2\rangle|=\min_{w_i\in S^1}||w_1||\,||w_2||\cos\theta=0\iff \theta=\frac\pi2\implies$$
$$||w_1-w_2||^2\le ||w_1||^2+||w_2||^2\le2$$
Después de la anterior, se puede ver que la máxima distancia posible entre cuatro puntos sobre el círculo unidad o dentro de la unidad de disco es alcanzado cuando están en la intersección de la circunferencia con el eje, es decir, en los puntos de $\,(-1,0)\,,\,(1,0)\,,\,(0,-1)\,,\,(0,1)\,$ , y, a continuación, la distancia entre dos consecutivos (reloj o en sentido antihorario) puntos es, precisamente, $\,\sqrt2\,$ (entre el antípoda de puntos es, por supuesto, $\,2\,$ ...)
Lena
Puntos
6
Supongamos $O$ es el centro del círculo. Ahora tome $4$ $A_1,A_2,A_3$ $A_4$ en la circunferencia del círculo que $OA_1$ pasa a través de uno de los $4$ puntos dentro del círculo y $\angle A_iOA_{i+1}=\pi /2$ por cada $i$. Ahora, considere el sector de la $A_1OA_2$; tenga en cuenta que$|A_1O|=|A_2O|=1\leq\sqrt{2}$$|A_1A_2|=\sqrt{2}$. Por lo tanto, cualquier dos puntos en el sector de la $A_1OA_2$ debe tener distancia menor o igual a $\sqrt{2}$ y lo mismo vale para todos los demás sectores. Ahora bien, desde un punto está en el límite de dos sectores, después de elegir otros tres puntos al menos dos deberán estar en el interior o en el límite del mismo sector.
chenbai
Puntos
5470
aquí está una geometría manera de demostrar que la distancia máxima es de $\sqrt{2}$ es un cuadrante de la zona:
$A,B$ , son los dos puntos en el área de $FOG$, WLOG, vamos a $AO \ge BO$,dibuje un círculo con $r=AO$, cruzar $OB$$C$.
ver el $\angle CBA$, hay 2 casos:
caso I: si $\angle CBA< \dfrac{\pi}{2}$,$\triangle ABO, \angle ABO > \dfrac{\pi}{2} \implies AB < AO \le 1 $,
caso II: si $\angle CBA \ge \dfrac{\pi}{2} $, $\triangle ABC,\angle CBA$ es max, $\implies AC \ge AB$( $B=C, AC=BC$ )
es trivial que $\triangle DOE \sim \triangle AOC ,DO\ge AO \implies DE \ge AC \implies AB \le DE $
en $\widehat { FG}, \widehat { FG} \ge \widehat {DE} \implies FG \ge DE \implies AB \le FG=\sqrt{2}$
A resumen por encima de los 2 casos, $AB_{max}=\sqrt{2}$ cuando y sólo cuando $A=F$ $B=G$
El resto de la inducción es la misma que la DonAntonio post.
