Encontrar el cierre de conjuntos en diferentes topologías.

Question

$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\T}{\mathcal{T}}$ $\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Problema

Deje $\T_1$ ser el límite inferior de la topología en $\R$ $\T_{2}$ ser la topología generada por la base de $\mathcal{C}=\{[a,b)|a<b,a,b\in\Q\}$. Determinar los cierres de los intervalos de $A=(0,\sqrt{2})$ $B=(\sqrt{2},3)$ en estas dos topologías.

Intento De Solución

（Voy a usar $A'$ para denotar el conjunto de límite de puntos de set $A$）

En $\T_{1}$, pretendemos que $\overline{\left(0,\sqrt{2}\right)}=[0,\sqrt{2})$. Para mostrar esto, en primer lugar demostrar que $\left\{ 0\right\} $ es un límite punto de $\left(0,\sqrt{2}\right).$ Deje $U$ ser cualquier conjunto abierto que contiene en $\left\{ 0\right\} $, $\exists[a,b)$ tal que $\left\{ 0\right\} \in[a,b)\subset U.$ Por lo tanto, $\exists\varepsilon>0$ tal que $[0,\varepsilon)\in[a,b),$ lo que implica $U\cap\left(0,\sqrt{2}\right)\neq\emptyset$. Desde $U$ es arbitrario, tenemos que $\left\{ 0\right\} \in\left(0,2\right)'$. Luego tenemos a $[0,\sqrt{2})\subset\overline{\left(0,\sqrt{2}\right)}.$ Para ver la otra dirección, es suficiente para mostrar que $[0,\sqrt{2})$ está cerrada. De hecho, $[0,\sqrt{2})^{c}=\left(-\infty,0\right)\cup[\sqrt{2},+\infty)=\cup_{n=1}^{\infty}\left[[-n,0)\cup[\sqrt{2},n)\right]$ que es abierto y por lo tanto $[0,\sqrt{2})$ está cerrada y contiene $\left(0,\sqrt{2}\right)$. Entonces, por definición, $\overline{\left(0,\sqrt{2}\right)}\subset[0,\sqrt{2})$. Prácticamente el mismo argumento, podemos mostrar que $\overline{\left(\sqrt{2},3\right)}=[\sqrt{2},3)$.

En $\T_{2}$, pretendemos que $\overline{\left(0,\sqrt{2}\right)}=\left[0,\sqrt{2}\right].$ Utilizando un argumento similar, se puede demostrar que $\left\{ 0\right\} \in\left(0,\sqrt{2}\right)'$. Para mostrar que $\left\{ \sqrt{2}\right\} \in\left(0,\sqrt{2}\right)'$ , tomamos nota de que, para cualquier conjunto abierto $U$ contiene $\left\{ \sqrt{2}\right\} $, $\exists[a,b)\in U$ tal que $a<b$ $a,b\in\Q.$ Esto garantiza que $a<\sqrt{2}$ desde $\sqrt{2}\notin\Q$. Por lo tanto $U\cap\left(0,\sqrt{2}\right)\neq\emptyset.$ Desde $U$ es arbitrario, $\sqrt{2}\in\left(0,\sqrt{2}\right)'$. Nosotros a continuación, ha $\left[0,\sqrt{2}\right]\in\overline{\left(0,\sqrt{2}\right)}.$ Para ver esta otra dirección, es suficiente para mostrar que $\left[0,\sqrt{2}\right]$ está cerrada. Para ver esto, tomamos nota de que podemos reescribir $[0,\sqrt{2}]^{c}=\cup_{n=1}^{\infty}\left[[-n,0)\cup[a_{n},+\infty)\right]$ donde $a_{n}\in\Q$ todos los $n\in\N,$ $a_{n}\downarrow\sqrt{2}.$ Observe que el último es abierto, ya que es una contables de la unión de conjuntos abiertos en $\T_{2}$, de donde $[0,\sqrt{2}]$ es cerrado, y, como resultado,$\overline{\left(0,\sqrt{2}\right)}\subset[0,\sqrt{2}]$. Por un argumento similar, se puede demostrar que $\overline{\left(\sqrt{2},3\right)}=[\sqrt{2},3)$

Pregunta

No sé si mis argumentos son lo suficientemente convincentes. Espero que alguien pueda echar un vistazo a mi intento y señalar los errores y posibles mejoras.

Answer 1

Las definiciones de $\mathcal{T}_1$ $\mathcal{T}_2$ son similares. La generada por los intervalos de la recta real:

• $\mathcal{T}_1$ generado por la mitad a abrir los intervalos de $\{[a,b)|\,a<b \text{ with }a,b\in\R\}$
• $\mathcal{T}_2$ generado por la mitad a abrir los intervalos de $\{[a,b)|\,a<b \text{ with }a,b\in\Q\}$

Entonces, ¿qué diferencia hace si sólo utilizamos los números racionales $\mathbb{Q}$ en lugar de todo número real $\mathbb{R}$?

En este sistema, pueden los cierres de contener la izquierda de los puntos? $0 \in \overline{(0, \sqrt{2})}$ o $\sqrt{2} \in \overline{(\sqrt{2}, 3)}$ ?

• si $0 \in [a,b)$$ a \leq 0 < b$, por lo que el $[a,b)$ tiene algunos números positivos

• si $\sqrt{2} \in [a,b)$ $ a \leq \sqrt{2} < b$ por lo que el intervalo de $[a,b)$ no puede evitar compartir algunos puntos en $(\sqrt{2},3)$

Ambos casos tuvieron el mismo resultado, independientemente de si se utilizó $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Q}$ ... ¿Qué acerca de los puntos de la derecha?

• si $\sqrt{2} \in [a,b)$ $ a \leq \sqrt{2} < b$ pero si $a \in \mathbb{Q}$ $a < \sqrt{2}$ desde $\sqrt{2}$ no es una fracción.

  • $(0, \sqrt{2}) \cap [\sqrt{2}, \infty) = \varnothing $
  • Esto es aceptable en $\mathcal{T}_1$ pero no $\mathcal{T}_2$.

Vamos a trazar la perfecta superposición en este caso, que tanto $\mathcal{T}_1$ siempre los permisos pero $\mathcal{T}_2$ sólo a veces:

[oooooooooooooooooooo)................
.....................[ooooooooooooooo)

vs                   3?

(oooooooooooooooooooo)................
.....................(ooooooooooooooo)