Esto puede darle más de la teoría de la lógica que desea detrás de esto (yo dar una explicación de su ejemplo, específicamente en el final), aunque el Marco proporciona un agradable, intuitiva análisis combinatorio.
Como alguien señaló, $\sigma$ es la suma de los divisores de la función, que se define mediante el establecimiento $\sigma(n)$ igual a la suma de todos los divisores positivos de $n$.
Ahora, tenemos que $\tau$ es el número de divisores de función, el cual es definido por la configuración de $\tau(n)$ igual al número de divisores positivos de $n$.
Primera nota de que $\sigma(n)$ $\tau(n)$ puede ser expresado en notación de sumatoria:
$$
\sigma(n)=\sum_{d\mediados n}d\quad\text{y}\quad \tau(n)=\sum_{d\mediados n}1.
$$
Voy a asumir que usted sabe $\sigma(n)$ $\tau(n)$ son multiplicativos funciones (si no, las pruebas de este hecho son fáciles de encontrar); es decir,
$$
\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)\quad\text{y}\quad\tau(mn)=\tau(m)\tau(n),\etiqueta{1}
$$
donde $m$ $n$ son relativamente primos enteros positivos (tales funciones se llaman completamente multiplicativa si $(1)$ mantiene para todos los enteros positivos $m$$n$).
Con eso fuera del camino, podemos desarrollar lo aprendido de forma más rigurosa a partir de un lexema, a continuación, un teorema, y, a continuación, un ejemplo sencillo.
Lema: Vamos a $p$ ser el primer y $a$ un entero positivo. Entonces
$$
\sigma(p^a)=1+p+p^2+\cdots+p^a=\frac{p^{+1}-1}{p-1},\etiqueta{2}
$$
y
$$
\tau(p^a)=a+1.\la etiqueta{3}
$$
Prueba. Los divisores de $p^a$$1,p,p^2,\ldots,p^{a-1},p^a$. Por lo tanto, $p^a$ tiene exactamente $a+1$ divisores, por lo que el $\tau(p^a)=a+1$. También, se nota que $\sigma(p^a)=1+p+p^2+\cdots+p^{a-1}+p^{a}=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$ (la suma de términos de una progresión geométrica).
Teorema: Dejar que el entero positivo $n$ han factorización en primos $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$. Entonces tenemos que
$$
\sigma(n)=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}\cdot\cdots\cdot\frac{p_s^{a_s+1}-1}{p_s-1}=\prod_{j=1}^s\frac{p_j^{a_j+1}-1}{p_j-1},\tag{4}
$$
y
$$
\tau(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_s+1)=\prod_{j=1}^s(a_j+1).\la etiqueta{5}
$$
Prueba. Desde $\sigma$ $\tau$ son tanto multiplicativo, podemos ver que
$$
\sigma(n)=\sigma(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s})=\sigma(p_1^{a_1})\sigma(p_2^{a_2})\cdots\sigma(p_s^{a_s}),
$$
y
$$
\tau(n)=\tau(p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s})=\tau(p_1^{a_1})\tau(p_2^{a_2})\cdots\tau(p_s^{a_s}).
$$
La inserción de los valores de $\sigma(p_i^{a_i})$$\tau(p_i^{a_i})$$(2)$$(3)$, obtenemos las fórmulas deseadas.
Ejemplo: Calcular el $\sigma(200)$$\tau(200)$.
Solución. El uso de $(4)$$(5)$, tenemos que
$$
\sigma(200)=\sigma(2^35^2)=\frac{2^4-1}{2-1}\cdot\frac{5^3-1}{5-1}=15\cdot 31=465,
$$
y
$$
\tau(200)=\tau(2^35^2)=(3+1)(2+1)=12.
$$
Para su observación en concreto, el cálculo de $\sigma(12)$ $\tau(12)$ da como resultado el siguiente:
- $\displaystyle \sigma(12)=\sigma(2^23^1)=\frac{2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^2-1}{3-1}=7\cdot 4=28$.
- $\tau(12)=\tau(2^23^1)=(2+1)(1+1)=3\cdot 2 = 6$.
