El grupo de movimientos rígidos del cubo es isomorfo a $S_4$ .

Question

Quiero resolver el siguiente ejercicio de Dummit & Foote. Mi intento está abajo. ¿Es correcto? Gracias.

Demuestre que el grupo de movimientos rígidos de un cubo es isomorfo a $S_4$ .

Mi intento: Denotemos los vértices del cubo de forma que $1,2,3,4,1$ trazar un cuadrado y $5,6,7,8$ son los vértices opuestos a $1,2,3,4$ . Denotemos también los pares de vértices opuestos $d_1,d_2,d_3,d_4$ donde el vértice $i$ está en $d_i$ . A cada movimiento rígido del cubo asociamos una permutación del conjunto $A=\{ d_i \}_{i=1}^4$ . Denotemos esta asociación por $\varphi:G \to S_4$ , donde $G$ es el grupo de esos movimientos rígidos, e identificamos $S_A$ con $S_4$ . Por definición de la composición de funciones podemos decir que $\varphi$ es un homomorfismo de grupo.

Demostramos que $\varphi$ es inyectiva, utilizando la caracterización del núcleo trivial:

Supongamos que $\varphi(g)=1$ fija todos los pares de aristas opuestas (es decir, tenemos $g(i) \in \{i,i+4 \}$ para todos $i$ donde los números se reducen mod 8). Supongamos que $g$ envía el vértice $1$ a su opuesto $5$ . Entonces los vértices $2,4,7$ junto a $1$ deben ser asignados también a sus vértices opuestos. Esto se debe a que de las dos opciones aparentemente posibles para sus imágenes, sólo una (el vértice opuesto) es adyacente a $g(1)=5$ . Esto determina completamente $g$ para ser el mapa de negación que no está incluido en nuestro grupo. La contradicción muestra que debemos tener $g(1)=1$ y a partir de ahí podemos encontrar de forma similar que $g$ es el mapeo de identidad. Dado que $\ker \varphi$ es trivial $\varphi$ es inyectiva.

Para demostrar que es sobreyectiva, observe que $S_4$ es generado por $\{(1 \; 2),(1 \; 2 \; 3 \; 4) \}$ (esto es cierto porque los productos de estos dos elementos nos permiten ordenar los números $1,2,3,4$ de la forma que queramos). Ahora encontramos elementos en $G$ con imágenes bajo $\varphi$ siendo estos generadores. Obsérvese que si $s$ es un $90^\circ$ rotación alrededor del eje que pasa por los centros de los cuadrados $1,2,3,4$ y $5,6,7,8$ , de tal manera que $1$ se asigna a $2$ seguido de una rotación por $120^\circ$ alrededor de la línea a través de $2,6$ (para que $1$ se asigna a $3$ ), tenemos $\varphi(s)=(1 \; 2)$ Observe también que si $t$ es $90^\circ$ rotación alrededor del eje que pasa por los centros de los cuadrados $1,2,3,4$ y $5,6,7,8$ , de tal manera que $1$ se asigna a $2$ tenemos $\varphi(t)=(1 \; 2 \; 3 \; 4)$ . Ahora bien, si $\sigma \in S_4$ es una permutación cualquiera, la expresamos como un producto que incluye $(1 \; 2),(1 \; 2 \; 3 \;4)$ y el correspondiente producto que implica $s,t$ se asigna a $\sigma$ por $\varphi$ . Esto demuestra $\varphi$ es suryente. Concluimos que $\varphi$ es un isomorfismo, por lo que $G \cong S_4$ .

Answer 1

La forma estándar de demostrar que $\phi$ es suryente es la siguiente. En primer lugar, hay que demostrar que $G$ tiene $24$ elementos. Entonces, ya que ha demostrado que $\phi : G \rightarrow S_4$ es una función inyectiva entre dos conjuntos de la misma cardinalidad, se deduce que $\phi$ debe ser sobreyectiva. (Porque si no, la imagen de $\phi$ habría $< 24$ elementos en ella, por lo que por el principio de encasillamiento, habría $\pi \in S_4$ con al menos dos elementos distintos que se asignan a través de $\phi$ contradiciendo la inyectividad de $\phi$ .)

Para demostrar que $G$ tiene $24$ elementos, utilice el teorema del estabilizador de la órbita. Por ejemplo, $G$ actúa sobre el conjunto de $6$ caras del cubo, y el estabilizador de una cara es un grupo cíclico de orden $4$ generado por un $90^{\circ}$ de grado de rotación. Así, $G$ tiene $6 \cdot 4 = 24$ elementos. También puede utilizar la acción de $G$ en los vértices ( $8 \cdot 3$ ), bordes ( $12 \cdot 2)$ o diagonales ( $4 \cdot 6$ ) en lugar de caras.

Answer 2

Surjetivo: El grupo de movimientos rígidos de un cubo contiene $24$ elementos, igual que $S_4$ . Prueba - Un cubo tiene $6$ lados. Si una cara determinada está orientada hacia arriba, hay cuatro posibles rotaciones del cubo que conservarán la cara orientada hacia arriba. Por lo tanto, el orden del grupo es $6\times 4 = 24$ .

Inyectiva: Un cubo tiene $4$ diagonales. Para la cabeza y la cola de una de las diagonales, adjunte $1$ por otro $2$ y así sucesivamente. Elegimos el mismo tale y cabeza de una diagonal, ya que no hay manera de tener un movimiento rígido para un cubo para cambiar la cabeza y el tale y todavía la diagonal permanece en la misma orientación. Para la primera diagonal se puede colocar cualquiera de $1$ , $2$ , $3$ o $4$ como podría elegir para el primer puesto en $S_4$ . Para la segunda diagonal queda $3$ números a elegir para adjuntar como el mismo para el segundo lugar en $S_4$ . Y hasta el último, y terminamos.