pregunta sobre la existencia de un subconjunto medible con medida positiva

Question

Es bien sabido que cualquier conjunto medible con una medida positiva tiene un no-medibles subconjunto. Pero ¿qué hay de la cuestión: la de si existe siempre un subconjunto medible con medida positiva en un no-medibles conjunto.

Intuitivamente diría que sí. Pero no sabe cómo dar una prueba. Por favor, ayudar a probar o refutar.

Gracias.

Answer 1

Una definición de clave aquí es "interior de la medida". El Lebesgue interior de la medida de un conjunto $A$ es el supremum de las medidas de Lebesgue medibles subconjuntos de a $A$ (lo que es equivalente, de los subconjuntos cerrados de $A$). Usted está preguntando si cada nonmeasurable conjunto ha positiva interior de la medida, y como user8268 ha demostrado, la respuesta es no.

Un conjunto de números reales $A$ finito exterior de la medida es medible si y sólo si su Lebesgue interior de medida $m_*(A)$ es igual a su Lebesgue exterior de medida $m^*(A)$. Si $m^*(A)=m_*(A)$, entonces no es un $G_\delta$ $G$ e una $F_\sigma$ $F$ tal que $F\subseteq A\subseteq G$$m(F)=m_*(A)=m^*(A)=m(G)$. A continuación, $A\setminus F\subseteq G\setminus F$ es un valor nulo conjunto, y por lo tanto $A=F\cup(A\setminus F)$ es medible.

Deje $A$ ser un nonmeasurable conjunto con finito interior de la medida. Deje $F\subset A$ $F_\sigma$ tal que $m(F)=m_*(A)$. A continuación, $A\setminus F$ es un nonmeasurable conjunto con interior de medida $0$. Por lo tanto, cada nonmeasurable set contiene nonmeasurable los subconjuntos no mensurables subconjuntos de medida positiva.

Answer 2

Vitali no medibles subconjunto $V\subset S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ (obtenido por la elección de un representante de cada clase de modulo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$) no tiene este tipo de un subconjunto. Si $A\subset V$ es medible, a continuación, $A+q\,$'s son medibles y distinto para diferentes $q\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, por lo tanto $\sum_q\mu(A+q)\leq \mu(S^1)=1$, e $\mu(A+q)=\mu(A)$ por cada $q$, por lo tanto $\mu(A)=0$.

Answer 3

Editar Originalmente respondió a esta medida sí, pero obviamente la respuesta es no (pobres habilidades revisión, lo siento).

La clave aquí es que la medida de Lebesgue es regular. Cualquiera de las formulaciones equivalentes de regularidad le da a usted que cualquier conjunto contiene un subconjunto medible con el mismo interior de la medida. Por supuesto, si el interior y exterior de las medidas de un conjunto coinciden, entonces el conjunto es medible. Por lo que cualquier no-medibles set $A$ debe tener positivos exterior de la medida. Su interior de medida es el sup de las medidas de sus subconjuntos compactos, por lo $A$ contiene un $F_\sigma$ conjunto con el mismo interior de la medida, por lo que su diferencia se ha interno de medida cero y no es medible. Esto da el resultado.