Expresión de puente browniano para un movimiento browniano

Question

Deje $B_t$ ser un estándar de movimiento Browniano en $\mathbb R$, luego el puente Browniano en $[0,1]$ se define como $$ Y_t = a(1-t)+bt+(1-t)\int\limits_0^t\frac{\mathrm dB_s}{1-s} $$ para $0\leq t<1$. Aquí $Y_0 = a$$\lim\limits_{t\to 1} Y_t = b$.s. El segundo implica $$ \lim\limits_{t\to 1}\;(1-t)\int\limits_0^t\frac{\mathrm dB_s}{1-s} = 0\text{ a.s.} $$ y usando integración por partes: $$ \lim\limits_{t\to 1}\;(1-t)\int\limits_0^t\frac{B_s}{(1-s)^2}\mathrm ds = B_1 \text{ a.s.} $$

Me pregunto si esta última fórmula se ha demostrado que tienen un particular interesante significado. Tal vez hay una conocida relación con una de Cauchy de la integral de la fórmula.

Answer 1

Si $f$ es cualquier función continua, entonces la regla de L'Hospital da \[ \lim_{t\1}\; (1-t)\int_0^t\frac{f(s)}{(1-s)^2}\,ds = f(1). \] En términos de funciones generales, este dice que si \[ \mu_t(s) = \frac{1-t}{(1-s)^2}1_{[0,t]}(s), \] a continuación,$\mu_t\to\delta_1$. El puente Browniano también puede ser escrito en términos de funciones generales: \[ Y_t= a(1 - t) + bt + \langle\partial B,\nu_t\rangle, \] donde \[ \nu_t(s) = \frac{1-t}{1-s}1_{[0,t]}(s), \] y $\partial B$ el (al azar) de la distribución de derivados de la Browniano recorrido de la muestra. Tenga en cuenta que $\langle\partial B,\nu_t\rangle = -\langle\partial\nu_t,B\rangle$, y \[ \partial\nu_t = (1-t)\delta_0 + \mu_t - \delta_t. \] Por lo tanto, \begin{align*} \lim_{t\to1}\;\langle\partial B,\nu_t\rangle &= \lim_{t\to1}\;-\langle(1-t)\delta_0 + \mu_t - \delta_t,B\rangle\\ &= \lim_{t\to1}\;\langle\delta_t - \mu_t,B\rangle\\ &= \langle\delta_1-\delta_1,B\rangle = 0. \end{align*}

Answer 2

Bueno, sin funciones generalizadas, la prueba se basa en la desigualdad de Doob de martingalas: Si $\{X_t\}_{t \in [0,T]}$ continuo martingala integrable cuadrática, entonces todos $C>0$ tenemos: $$P\left(\sup\limits_{t \in [0,T]}|X_t|\geq C\right)\leq \dfrac{EX^2(T)}{C^2}$ $ así que si nos denotan $X_t=\int_{0}^t\dfrac{dB_s}{1-s}$, entonces $$P\left(\sup\limits_{1-2^{-n}\leq t\leq 1-2^{-n-1}}(1-t)|X_t|>C\right)\leq 2 C^{-2}2^{-n},$$ take $C=2^{-n/4}$ and apply the Borel-Cantelli lemma. The rest is almost evident ($X_t \to 0$ a.s.)