Queremos definir $$f(z)=e^z$$ in such a way that it satisfies the following properties: $$ f'(z) = f(z) , \quad f(x+ 0i) = e^x$$ En otras palabras, queremos que sea de su propia derivada y nos gustaría reducir regular de la función exponencial cuando el exponente es puramente real. Permite explorar lo que las propiedades de una función de este tipo tendría que tener.
Para hacer las cosas más fácil escribir $f(z) = f(x+iy) = u + iv$$ u = u(x,y) , v = v(x,y)$.
Por el Cauchy-Riemann ecuaciones sabemos que $$f'(x+iy) = u_x + i v_x = v_y + i (-u_y) = u + iv.$$ where the rightmost equality comes from the fact that$ f' = f$. Equating real/imaginary parts we see that $$u(x,y) = u_x(x,y)$$ $$ v(x,y) = v_x(x,y)$$ for all x,y. The general solutions to these equations are $$u(x,y) = a(y)e^x$$ $$ v(x,y)= b(y)e^x $$ Looking at the other constraint we have $$ e^{x} + 0i = e^ x = f(x+0i) = u(x,0) + i v(x,0) = a(0)e^x + i b(0)e^x$$ This gives our "initial conditions" $$ a(0) = 1 ,\ b(0) = 0.$$
Volviendo a la C-R ecuaciones tenemos $$ u_x = v_y \implies a(y)e^x = b'(y)e^x$$ $$v_x = - u_y \implies a'(y)e^x = -b(y)e^x$$ Giving the system $$a = b'$$ $$- b = a'$$ Which we can cleverly write as $$ \vec{x}' = \begin{bmatrix} a'(y) \\ b' (y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a(y) \\ b(y) \end{bmatrix} = A \vec{x} $$ resulta Que la solución de un sistema lineal como este está dado por la matriz exponencial
$$ \vec{x}(y) = e^{Ay} * \vec{x_0} $$
$ \\ $
donde $ \vec{x_0} = \begin{bmatrix} a(0) \\ b(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $ e^{Ay} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^ky^k}{k!} $ $A^k$ denota la matriz de exponenciación.
Tenga en cuenta que$ A^2 = -I$, de modo que $ A^3 = - A, A^4 = I, A^5 = A $ etc.
Esto le da a $$ e^{Ay} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^ky^k}{k!} = \displaystyle\sum_{even k} \frac{A^ky^k}{k!} + \displaystyle\sum_{odd k} \frac{A^ky^k}{k!}$$
$\\$
$$ = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k Iy^{(2k)}}{2k!} + \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kAy^{(2k+1)}}{(2k+1)!}$$ $= \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k y^{(2k)}}{2k!} & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k y^{(2k)}}{2k!}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^ky^{(2k+1)}}{(2k+1)!} \\ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^ky^{(2k+1)}}{(2k+1)!} & 0 \end{bmatrix} $
$\\$
$= \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k y^{(2k)}}{2k!} & - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^ky^{(2k+1)}}{(2k+1)!} \\ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^ky^{(2k+1)}}{(2k+1)!} & \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k y^{(2k)}}{2k!} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos(y) & - sin(y) \\ sin(y) & cos(y) \end{bmatrix}$
Como se mencionó anteriormente, multiplicando por el vector de condiciones iniciales nos da nuestra solución : $$ \begin{bmatrix} a(y) \\ b(y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(y) & - sin(y) \\ sin(y) & cos(y) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(y) \\ sin(y) \end{bmatrix}$$ We finally arrive at $$f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y) = e^xcos(y) + i e^xsin(y).$$ En otras palabras, si queremos que el complejo exponencial natural de generalizar el real exponencial, a continuación,
debemos DEFINIR como $ e^{x+iy} = e^x(cos(y) + i sin(y))$.
