El Polinomio De La Ecuación De Diophantine

Question

Si $x$,$y$ $\in \mathbb Z$, encontrar todas las soluciones de

$$y^3=x^3+8x^2-6x+8$$

He tratado de factorización de la ecuación, pero el polinomio en $\text{R.H.S.}$ no tiene raíces enteras. Además, puedo deducir que la paridad de $x$ $y$ es el mismo. Sin embargo, me parece que no puede encontrar una manera de ir más allá.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias!

Answer 1

Supongamos que $x\geq 0$. Luego tenemos a $x^3 < x^3 + 8x^2 - 6x + 8 < (x+3)^3$, por lo que $y \in \{x+1,x+2\}$. $y=x+1$ no tiene entero de soluciones, y de conectar $y=x+2$ los rendimientos de las dos soluciones de la $x=0$$x=9$.

Para el negativo $x$, podemos hacer algo similar, aunque los detalles son messier:

Supongamos $x\leq 0$, y vamos a $u=-x$, $v=-y$. A continuación,$v^3 = u^3 - 8u^2 -6u - 8$. Tenemos $(u-12)^3<u^3 - 8u^2 -6u - 8<u^3$, lo $v \in \{u-11, u-10, \ldots, u-1\}$.

Conectar los rendimientos no se entero de soluciones, excepto para los que ya hemos encontrado, $(x,y) \in\{(0,2),(9,11)\}$.

Puede ser una manera de evitar dificultades en el último paso, pero la idea básica es utilizar límites para reducir el problema a la comprobación de un número finito de casos.

Answer 2

En general para este tipo de ecuaciones no son buenas límites superiores para $|x|.$ Por ejemplo, véase el teorema 4 de un papel de G. Walsh [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa62/aa6225.pdf]. Este teorema da $|x|\leq 3^9\cdot 9^6=3^{21}.$, Entonces usted puede comprobar (tener un poco de paciencia) todos $x$ (necesita $2^{33}$ rondas y verificación sólo para $|x|<0$ debido a la respuesta de la crítica anterior; es factible).