Un polinomio de quinto grado $P(x)$ con coeficientes integrales.

Question

Un polinomio de quinto grado $P(x)$ con coeficientes integrales toma valores $0,1,2,3,4$ en $x=0,1,2,3,4$ respectivamente.

¿Cuál de los siguientes es un valor posible para $P(5)$ ?

A) $5$

B) $24$

C) $125$

D)Ninguna de las anteriores

Answer 1

Cualquier polinomio de grado como máximo cinco, que cumpla las condiciones de interpolación dadas, tiene la forma \[ P(x) = x + a\prod_{i=0}^4 (x-i) \] para algún $a \in \mathbb Z$ (podemos verlo si escribimos $P$ en el Base Newton por ejemplo). Así que $P(5) = 5 + 5!a = 5 + 120a$ . Ahora A) corresponde a $a = 0$ B) a $a = \frac{19}{120}$ y C) a $a=1$ . Como queremos $P$ para ser de quinto grado, necesitamos $a \ne 0$ y como $\frac{19}{120} \not\in\mathbb Z$ la respuesta correcta es C), dando $P(x) = x + \prod_{i=0}^4(x-i)$ .

Answer 2

Por ejemplo, $p\left(x\right)=x+x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ .

Answer 3

Sugerencia $\ $ Sea $\rm\:g(x) = f(x)-x.\:$ Entonces

$\begin{eqnarray} &&\rm g(0)=0,\ g(1)=0,\ldots,\ g(4) = 0\\ &\iff&\rm\quad x\:|\:g,\quad\ x\!-\!1\:|\:g,\ \ldots,\ x\!-4\:|\:g \\ &\iff&\rm\quad x\,(x\!-\!1)\,\cdots\,(x\!-4)\:|\:g = f-x\\ &\iff&\rm f = x + c\, x\,(x\!-\!1)\,\cdots\,(x\!-4)\quad c\ne 0,\ deg\ c = 0\ \ by\ \ deg\ f = 5\\ &\Rightarrow&\rm f(5) = 5 + c\,5! = 5 + 120\,c\qquad excludes\ A,B,\ includes\ C \end{eqnarray}$