Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad, y sea $\operatorname{Spec}(R)$ ser inducido con la topología de Zariski. Entonces sabemos que $\operatorname{Spec}(R)$ está conectado si $R$ no tiene ningún idempotente no trivial. Mi pregunta es : ¿Existe un criterio algebraico para el subespacio $\operatorname{maxSpec}(R)$ del conjunto de todos los ideales maximales de $\operatorname{Spec}(R)$ ¿se conectará?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos también modelar el radical de Jacobson de $R$ ya que eso no cambiará $\operatorname{maxSpec}(R)$ . Suponiendo que $R$ tiene un radical de Jacobson trivial, entonces $\operatorname{maxSpec}(R)$ es denso en $\operatorname{Spec}(R)$ Así que si $\operatorname{maxSpec}(R)$ está conectado entonces $\operatorname{Spec}(R)$ está conectado. Por el contrario, si $\operatorname{maxSpec}(R)$ está desconectado, lo que significa que hay subconjuntos cerrados no vacíos $C,D\subset\operatorname{Spec}(R)$ tal que $C\cap D$ es disjunta de $\operatorname{maxSpec}(R)$ y $C\cup D$ contiene $\operatorname{maxSpec}(R)$ . Desde $C\cap D$ es cerrado y todo conjunto cerrado no vacío en $\operatorname{Spec}(R)$ contiene un ideal máximo, lo que significa que $C\cap D=\emptyset$ . Desde $C\cup D$ está cerrado y $\operatorname{maxSpec}(R)$ es denso en $\operatorname{Spec}(R)$ También concluimos que $C\cup D=\operatorname{Spec}(R)$ . Así que concluimos que $\operatorname{Spec}(R)$ también está desconectado.
Así que cuando $R$ tiene un radical de Jacobson trivial, $\operatorname{maxSpec}(R)$ está conectado si $\operatorname{Spec}(R)$ está conectado. Así que para un anillo general $R$ , $\operatorname{maxSpec}(R)$ está conectado si $\operatorname{Spec}(R/J(R))$ está conectado (donde $J(R)$ es el radical de Jacobson), o de forma equivalente si $R/J(R)$ no tiene idempotentes no triviales.
