Naturales representable como las diferencias de poderes

Question

Con papel y lápiz método sólo he encontrado una primera $5$ de los casos:

$$1=3^2-2^3$$

$$2=3^3-5^2$$

$$3=2^7-5^3$$

$$4=5^3-11^2$$

$$5=2^5-3^3$$

Esto se ve muy interesante, y si una $n$ puede ser representado como la diferencia de dos potencias (no tomamos aquí $a^1$ en cuenta, pero sólo exponentes $\geq 2$ y no tomamos en consideración las potencias $1^m$) podemos llamar a $n$ un power-representable número natural.

Es muy razonable esperar que algunos de los números que pueden ser representados en más de una manera, pero me gustaría saber aquí es conocido para ser verdad, y es verdad una declaración siguiente:

Cada número natural es el poder-representable.

Answer 1

Diferencias de cuadrados son bien entendidos.

Si $$ n = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $$ a continuación, $a-b$ $a+b$ son tanto o incluso a un extraño, por lo $n$ es raro o un múltiplo de $4$.

Supongamos $n$ es impar. A continuación, cada forma de escribir $n = rs$ como producto de dos (necesariamente impar) factores de con $r > s$ dice que $$ n = \left( \frac{r+ s}{2} \right)^2 - \left( \frac{r - s}{2} \right)^2 . $$

Siempre se puede llevar a $r=n= 2k+1$$s=1$, para obtener el bien conocido $$ 2k+1 = (k+1)^2 - k^2 . $$

Si $n$ es el primer que es la única manera de escribir como una diferencia de cuadrados.

Yo se lo dejo a usted para buscar todas las formas para escribir $105 = 3 \times 5 \times 7$.

A continuación, puede trabajar fuera el argumento de la cantidad de $4$.

Answer 2

Una respuesta parcial, ya que, como @Ethan puntos, el problema es bien conocido y resuelto en general.

Voy a escribir un entero de la forma $4n$ como una diferencia de cuadrados. Un poco más sutil argumento funciona para$4n + 1$$4n + 3$.

Supongamos que usted mira un entero $k = 4n$ donde $n$ es un entero positivo. $k$ no es primo, por $k = 2(2n)$. Si escribimos $$ a + b = 2n a - b = 2 $$ tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas; sumando, obtenemos $$ 2a = 2n + 2 $$ así $$ a = n + 1 $$ Del mismo modo, $b = n-1$.

Que nos da dos números enteros, $a$$b$, con la propiedad de que $(a+b)(a-b) = 4n$. Pero $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, por lo que nuestro número $k = 4n$ es una diferencia de cuadrados.

Como ejemplo, ver el $k = 4\cdot 5 = 20$, lo $n = 5$. La fórmula de arriba, dice que tomen $a = 6$$b = 4$. Calculamos $$(a+b)(a-b) = 10 \cdot 2 = 20.$$ Pero este es el mismo como $$ a^2 - b^2 = 36 - 16 = 20 $$ así que hemos escrito $20$ como una diferencia de cuadrados.