$det(A_1\cdot B_1 +A_2\cdot B_2)=0$

Question

Deje $A_1, A_2\in M_n(\mathbb{R})$ dos matrices simétricas s.t. $det(A_1^2+A_2^2)=0$.

Mostrar que $det(A_1\cdot B_1 +A_2\cdot B_2)=0$ por cada $B_1, B_2\in M_n(\mathbb{R})$.

Mi idea:

Considero que la matriz C :\begin{bmatrix} A_1 & A_2 \\ B_1^t & B_2^t \end{bmatrix}

$det(C\cdot C^t)\geq 0\Rightarrow det(\begin{bmatrix} A_1^2 +A_2^2 & D \\ D^t & E\\ \end{bmatrix})\geq 0 $ where $D=A_1B_1+A_2B_2$.

Traté de ampliar el determinante con la Regla de Laplace. No estoy seguro de si $ det(\begin{bmatrix} A_1^2 +A_2^2 & D \\ D^t & E\\ \end{bmatrix}) = -det(D\cdot D^t)$.

De esta manera conseguiría $det(D)=0$.

Answer 1

Si $\det (A_1^2+A_2^2) = 0$, luego $x^TA_1^2+x^TA_2^2=0$ algunos $x\neq 0$$\|x^TA_1\|^2 + \|x^TA_2\|^2 = 0$.

Desde $x^TA_1=x^TA_2 = 0$, podemos ver que $x^T (A_1 B_1+A_2 B_2) =0$ y por lo $\det (A_1 B_1+A_2 B_2) =0$

Answer 2

Deje $\det(A^2_1+A^2_2)=0$ entonces existe algún vector $x\neq 0$ tal que $(A^2_1+A^2_2)x=0$ esto implica $$0=\langle (A_1^2+A^2_2)x,x\rangle=\langle A^2_1x,x\rangle+\langle A^2_2x,x\rangle=\langle A_1 x,A^T_1x\rangle+\langle A_2x,A^T_2x\rangle$$ Desde $A_1, A_2$ son simétricas, a continuación,$A_1=A_1^T, A_2=A^T_2$. Por lo tanto $$0=\langle A_1 x,A^T_1x\rangle+\langle A_2x,A^T_2x\rangle=\langle A_1 x,A_1x\rangle+\langle A_2x,A_2x\rangle=||A_1x||^2+||A_2x||^2$$ Esto sólo se aplica si $A_1x=A_2x=0$, en cuyo caso obtenemos que $\det A_1=\det A_2=0$. Ahora vamos a $C:=A_1B_1+A_2B_2$$C^T=B_1^TA^T_1+B^T_2A^T_2=B_1^TA_1+B^T_2A_2$. Entonces, esto da $$C^T x=(B_1^TA_1+B^T_2A_2) x=B_1^TA_1x+B^T_2A_2x=B_1^T0+B^T_20=0$$ Por lo tanto, $\det C^T=0$ pero $\det C=\det C^T$ para cualquier matriz $C$. El resultado de la siguiente manera $$\det C=\det (A_1B_1+A_2B_2)=0$$