¿Cómo funciona la 11 división en el ring $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$

Question

Me enteré de que la división de números primos en un campo de número de $K = \mathbb{Q}(x)/p(x)$ depende de la factorización de $p(x) \pmod p$. Si bien esto no es en absoluto obvio para mí, vamos a utilizar:

$$x^3 - 2 \equiv (x-7)(x^2 + 7x + 6) \pmod {11}$$

y no creo que el segundo factor se divide. ¿Qué dice esto acerca de la factorización de $p = 11 \in \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ ?

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Mi mejor conjetura es que el $p = 11$ divisiones como una lineal y una cuadrática. Para algunos enteros: $a,b,c,d,e \in \mathbb{Z}$ tenemos:

\begin{eqnarray*} 11 &=& (a + b\sqrt[3]{2}) (c + d \sqrt[3]{2}+ e\sqrt[3]{4}) \\ &=& (ac + 2be) + (bc + ad)\sqrt[3]{2} + (bd+ae)\sqrt[3]{4}\end{eqnarray*}

La mayoría por la tautología, tenemos 3 ecuaciones con 5 desconocidos enteros y podemos intentar resolverlo:

\begin{eqnarray*} ac + 2be &=& 11 \\ bc + \,\,ad &=& 0 \\ bd + \,\,ae &=& 0 \end{eqnarray*}

Este se ve bastante mal, sin embargo me di cuenta de los tres factores determinantes. Y quizás ese podría ser útil.

Answer 1

La factorización $x^3 - 2$ mod $11$ nos dice acerca de la factorización del ideal de la $(11)$$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$. Deje $K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ y deje $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ ser su anillo de enteros. Entonces la factorización del ideal de la $(11)$ puede ser detectada a partir de la estructura de $\mathcal{O}_K/(11)$. Por el Tercer Teorema de Isomorfismo, tenemos $$ \frac{\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]}{(11)} \cong \frac{\mathbb{Z}[x]}{(11, x^3 - 2)} \cong \frac{(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})[x]}{(x^3 - 2)} $$ y la estructura de este último anillo es determinado por la factorización de $x^3 - 2$ mod $11$. Para más información sobre esto, recomiendo Keith Conrad elogio del Factoring Después de Dedekind.

Así factoring mod $11$, nos encontramos con $x^3 - 2 = (x - 7)(x^2 + 7x + 5)$. Por el Teorema 8 en el PDF enlazadas, entonces tenemos la factorización de los ideales $$ (11) = (11, \alpha - 7)(11, \alpha^2 + 7 \alpha + 5) = \mathfrak{p}_1 \mathfrak{p}_2 $$ donde $\alpha = \sqrt[3]{2}$.

Sin embargo, esto aún no se nos han dado una factorización del elemento $11$. Resulta que $\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]$ es un PID, por lo que el primer ideales de arriba son los principales. Desde $\mathfrak{p}_1, \mathfrak{p}_2$ normas $11$$121$, entonces ellos deben ser generados por los elementos de la norma $\pm 11$$\pm 121$. La búsqueda de esos elementos cantidades a la solución de las ecuaciones Diophantine $$ a^3 - 6 abc + 2 b^3 + 4 c^3 = N(a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{2}^2) = \pm 11, \pm 121 \, . $$ No sé de una buena manera de hacer esto en general, pero para este caso resulta que $\mathfrak{p}_1 = (1 - \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}^2)$ $\mathfrak{p}_2 = (1 - 3 \sqrt[3]{2} - 2 \sqrt[3]{2}^2)$ y $$ 11 = (1 - \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2}^2)(1 - 3 \sqrt[3]{2} - 2 \sqrt[3]{2}^2) \, . $$