Wavefunctions ortogonal

Question

Mi comprensión actual de la ortogonales wavefunctions es: dos wavefunctions que son perpendiculares uno al otro y debe satisfacer la siguiente ecuación: $$\int\psi_1\, \psi_2\, \mathrm{d}\tau =0$$

A partir de esto, implica que la ortogonalidad es una relación entre 2 wavefunctions y una sola función de onda no puede ser etiquetado como 'ortogonal'. Deben ser ortogonales con respecto a alguna otra función de onda. Sin embargo he visto que algunos libros de texto se refieren a una sola wavefunctions como ser ortogonales.

Me estoy perdiendo algún aspecto crucial en mi definición de ortogonal wavefunctions? Podría alguien darme una definición más completa de ortogonal wavefunctions de una química punto de vista?

Gracias por su tiempo y su ayuda de antemano.

Answer 1

La noción de ortogonalidad en el contexto de la pregunta referentes a la muy conocida concepto general de álgebra lineal, la rama de las matemáticas que estudia los espacios vectoriales. En lugar de profundizar en las matemáticas (que requiere al menos 50 libros de texto de las páginas) vamos a aclarar algunos OP dudas.

En primer lugar, una pequeña (pero importante) corrección: dos funciones de onda $\psi_1$ $\psi_2$ se llama ortogonal a cada uno de los otros si $$ \int \overline{\psi}_1 \psi_2 \, \mathrm{d} \tau = 0 \, , $$ donde la primera función es complejo-conjugado según lo indicado por una barra en la parte superior de la misma. Las funciones de onda son valores complejos de funciones y compleja conjugación del primer argumento es importante.¹

Así que, sí, ortogonalidad no es una propiedad de una sola función de onda. Tampoco se refiere a un par de ellos que es ortogonal a cada uno de los otros, como se describe anteriormente, o, en general, a un conjunto de ellos, siendo todos mutuamente ortogonal a cada uno de los otros, es decir, a un conjunto $\{ \psi_i \}_{i=1}^{n}$ tal que para cualquier $i \neq j$ $$ \int \overline{\psi}_i \psi_j \, \mathrm{d} \tau = 0 \, . $$ En el último caso se dice que el conjunto total $\{ \psi_i \}_{i=1}^{n}$ es ortogonal.

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1) Más precisamente, una de las dos funciones tiene que ser complejo-conjugados en esta expresión, en donde los cuales uno es el asunto de la convención: en física, la literatura es a menudo la primera función, mientras que en las orientadas matemáticamente la literatura es generalmente el segundo.

Answer 2

Como se describe en la respuesta de gato montés, una sola función de onda no puede ser ortogonal, sino un conjunto de funciones de onda puede ser mutuamente ortogonal.

Para abordar la segunda parte de la pregunta del OP, el significado físico de ortogonalidad es que un par de funciones mutuamente ortogonales de la onda son excluyentes; Observando uno excluye la posibilidad de observar a la otra a menos que se cambie el sistema.